《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 [2025西安月考]下列方程中属于二元一次方程的是 (C)
A. $ x+\frac{2}{y}= -4 $
B. $ 3x^{2}+y= 8 $
C. $ x+y-2= 0 $
D. $ x-y-2z= 10 $

答案： C $ x + \frac { 2 } { y } = - 4 $不是整式方程，不属于二元一次方程，故A项不符合题意；$ 3 x ^ { 2 } + y = 8 $中，含有未知数的项$ 3 x ^ { 2 } $的次数为2，不属于二元一次方程，故B项不符合题意；$ x - y - 2 z = 10 $含有3个未知数，不属于二元一次方程，故D项不符合题意。

2 [2025咸阳月考]下列方程组是二元一次方程组的是 (D)
A. $ \left\{\begin{array}{l} x+y= 5,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}= 3 \end{array}\right. $
B. $ \left\{\begin{array}{l} x+y= 6,\\ y+z= 7 \end{array}\right. $
C. $ \left\{\begin{array}{l} x-1= xy,\\ x-y= xy \end{array}\right. $
D. $ \left\{\begin{array}{l} x= 3,\\ 2x-y= 7 \end{array}\right. $

答案： D A项，第二个方程不是整式方程，不符合题意；B项，方程组含有3个未知数，不符合题意；C项，含有未知数的项xy的次数为2，不符合题意。

3 [2024广州荔湾区期末]若$ (a-1)x+4y^{|a|}= 3 $是关于x,y的二元一次方程,则$ a= $____-1。

答案： -1 根据二元一次方程的定义，得$ | a | = 1 $且$ a - 1 \neq 0 $，所以$ a = - 1 $。
策略点拨
根据二元一次方程的定义求字母的值的方法
若方程$ a x + b y = c $是关于x，y的二元一次方程，说明x，y是未知数，a，b，c是常数，且$ a \neq 0 $，$ b \neq 0 $。根据二元一次方程的定义求二元一次方程中字母的值时，要注意以下几点：（1）弄清楚谁是未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1；（3）含有未知数的项的系数不为0。

4 易错题 若方程组$ \left\{\begin{array}{l} 2x-(c+3)xy= 3,\\ x^{a-2}-y^{b+3}= 4 \end{array}\right. $是关于x,y的二元一次方程组,则代数式$ a+b+c $的值是-2或-3。

答案： -2或-3 由二元一次方程组的概念，分两种情况：①$ c + 3 = 0 $，$ a - 2 = 1 $，$ b + 3 = 1 $，解得$ c = - 3 $，$ a = 3 $，$ b = - 2 $，所以$ a + b + c = - 2 $；②$ c + 3 = 0 $，$ a - 2 = 0 $，$ b + 3 = 1 $，解得$ c = - 3 $，$ a = 2 $，$ b = - 2 $，所以$ a + b + c = - 3 $。综上，代数式$ a + b + c $的值是-2或-3。

5 在①$ \left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= 1 \end{array}\right. $,②$ \left\{\begin{array}{l} x= 3,\\ y= 2 \end{array}\right. $,③$ \left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= 4 \end{array}\right. $中,①②是方程$ x-y= 1 $的解,②③是方程$ x+y= 5 $的解,②是方程组$ \left\{\begin{array}{l} x-y= 1,\\ x+y= 5 \end{array}\right. $的解。(填序号)

答案： ①② ②③ ② 对于$ x - y = 1 $，当$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 2 }, \\ { y = 1 } \end{array} \right. $时，$ x - y = 2 - 1 = 1 $，故①是$ x - y = 1 $的解；当$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 3 }, \\ { y = 2 } \end{array} \right. $时，$ x - y = 3 - 2 = 1 $，故②是$ x - y = 1 $的解；当$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 1 }, \\ { y = 4 } \end{array} \right. $时，$ x - y = 1 - 4 = - 3 \neq 1 $，故③不是$ x - y = 1 $的解。对于$ x + y = 5 $，当$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 2 }, \\ { y = 1 } \end{array} \right. $时，$ x + y = 2 + 1 = 3 \neq 5 $，故①不是$ x + y = 5 $的解；当$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 3 }, \\ { y = 2 } \end{array} \right. $时，$ x + y = 3 + 2 = 5 $，故②是$ x + y = 5 $的解；当$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 1 }, \\ { y = 4 } \end{array} \right. $时，$ x + y = 1 + 4 = 5 $，故③是$ x + y = 5 $的解。根据以上计算，可知$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 3 }, \\ { y = 2 } \end{array} \right. $是$ x - y = 1 $与$ x + y = 5 $的公共解，所以②是方程组$ \left\{ \begin{array} { l } { x - y = 1 }, \\ { x + y = 5 } \end{array} \right. $的解。

6 新趋势·结论开放 教材习题变式 [2024信阳期末]已知二元一次方程$ x+3y= 14 $,请写出该方程的一个整数解$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 }, \\ { y = 4 } \end{array} \right.$。
归纳总结
（1）二元一次方程的每一个解，都是一组数值，而不是一个数值；（2）二元一次方程的解要用大括号括起来。

答案： （答案不唯一）$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 2 }, \\ { y = 4 } \end{array} \right. $
归纳总结
（1）二元一次方程的每一个解，都是一组数值，而不是一个数值；（2）二元一次方程的解要用大括号括起来。

7 [2024梧州期末]已知$ \left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= 1 \end{array}\right. $是二元一次方程$ mx+3y= 2 $的一个解,则m的值为____$ - \frac { 1 } { 2 } $。

答案： $ - \frac { 1 } { 2 } $ 将$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 2 }, \\ { y = 1 } \end{array} \right. $代入方程，得$ 2 m + 3 = 2 $，解得$ m = - \frac { 1 } { 2 } $。
解题通法
方程的解应满足方程，解此类题的方法是把方程的一个解代入方程，将其转化为关于未知字母的方程，然后求相应字母的值。

若$ \left\{\begin{array}{l} x= m,\\ y= n \end{array}\right. 是方程 2x-3y= 2 $的解,则$ -4m+5+6n= $1。

答案： 把$ \left\{ \begin{array} { l } { x = m }, \\ { y = n } \end{array} \right. $代入方程$ 2 x - 3 y = 2 $，得$ 2 m - 3 n = 2 $，所以$ - 4 m + 5 + 6 n = - 2 ( 2 m - 3 n ) + 5 = - 2 \times 2 + 5 = 1 $。

已知关于x,y的二元一次方程组$ \left\{\begin{array}{l} 2x+by= 8,\\ bx-ay= -1 \end{array}\right. $的解为$ \left\{\begin{array}{l} x= 3,\\ y= 2 \end{array}\right. $,则a,b的值分别为2，1。

答案： 2，1 把$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 3 }, \\ { y = 2 } \end{array} \right. $代入$ 2 x + b y = 8 $，得$ 6 + 2 b = 8 $，解得$ b = 1 $。把$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 3 }, \\ { y = 2 } \end{array} \right. $和$ b = 1 $代入$ b x - a y = - 1 $，得$ 3 - 2 a = - 1 $，解得$ a = 2 $。

9 新趋势·数学文化 [2024湖北中考]我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题:“今有牛五、羊二,直金十两。牛二、羊五,直金八两。问牛羊各直金几何。”译文:“今有牛5头,羊2头,共值金10两。牛2头,羊5头,共值金8两。问牛、羊每头各值金多少。”若设牛每头值金x两,羊每头值金y两,则可列方程组是 ($\left\{\begin{array}{l}5x+2y=10\\ 2x+5y=8\end{array}\right.$)
A. $ \left\{\begin{array}{l} 5x+2y= 10,\\ 2x+5y= 8 \end{array}\right. $
B. $ \left\{\begin{array}{l} 2x+5y= 10,\\ 5x+2y= 8 \end{array}\right. $
C. $ \left\{\begin{array}{l} 5x+5y= 10,\\ 2x+5y= 8 \end{array}\right. $
D. $ \left\{\begin{array}{l} 5x+2y= 10,\\ 2x+2y= 8 \end{array}\right. $

答案： A 每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两”，得$ 5 x + 2 y = 10 $；根据“牛2头，羊5头，共值金8两”，得$ 2 x + 5 y = 8 $，联立可得所求方程组。
策略点拨
列二元一次方程组的步骤
（1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系。（2）设未知数（设两个未知数）：用字母表示题目中的两个未知量。（3）列方程组：用字母和已知量表示两个等量关系，从而列出方程组。

10 教材习题变式 [2024黑龙江龙东地区中考]国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动。班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)。其中笔记本每本3元,碳素笔每支2元,共花费28元,则共有几种购买方案 (B)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

答案： B 设购买笔记本x件，碳素笔y支，根据题意，得$ 3 x + 2 y = 28 $，所以$ y = 14 - \frac { 3 } { 2 } x $，因为x，y均为正整数，所以$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 2 }, \\ { y = 11 } \end{array} \right. $或$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 4 }, \\ { y = 8 } \end{array} \right. $或$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 6 }, \\ { y = 5 } \end{array} \right. $或$ \left\{ \begin{array} { l } { x = 8 }, \\ { y = 2 } \end{array} \right. $，所以共有4种购买方案。