《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

5 [2024 成都温江区期中]已知$xy= 12,x+y= -8$,则$y\sqrt {\frac {x}{y}}+x\sqrt {\frac {y}{x}}$的值为$-4\sqrt {3}$。

答案： $-4\sqrt {3}$ 因为$xy=12,x+y=-8$,所以$x＜0,y＜0$,所以$y\sqrt {\frac {x}{y}}+x\sqrt {\frac {y}{x}}=y\cdot \frac {\sqrt {xy}}{-y}+x\cdot \frac {\sqrt {xy}}{-x}=-\sqrt {xy}-\sqrt {xy}=-2\sqrt {xy}=-2×\sqrt {12}=-4\sqrt {3}$。

6 已知$a+\frac {1}{a}= 1+\sqrt {10}$,求$a^{2}+\frac {1}{a^{2}}$的值。

答案： 解:$a^{2}+\frac {1}{a^{2}}=(a+\frac {1}{a})^{2}-2=(1+\sqrt {10})^{2}-2=9+2\sqrt {10}$。

7 [2024 抚州期中]已知$x= 2+\sqrt {3},y= 2-\sqrt {3}$,求下列各式的值：
(1)$x^{2}-y^{2}=$$8\sqrt{3}$；
(2)$x^{2}+xy+y^{2}=$15。

答案： 解:
(1) 由题意,得$x+y=2+\sqrt {3}+2-\sqrt {3}=4,x-y=2+\sqrt {3}-(2-\sqrt {3})=2\sqrt {3}$。
$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)=4×2\sqrt {3}=8\sqrt {3}$。
(2)$x^{2}+xy+y^{2}=(x+y)^{2}-xy=4^{2}-(2+\sqrt {3})(2-\sqrt {3})=16-[2^{2}-(\sqrt {3})^{2}]=16-1=15$。

8 新趋势·过程性学习[2024 淮安期中]【问题解决】
已知$x= \sqrt {5}+2$,求代数式$x^{2}-4x-7$的值。
小敏的做法如下：
由$x= \sqrt {5}+2$,得$(x-2)^{2}= 5$,
所以$x^{2}-4x+4= 5$,得$x^{2}-4x= 1$。
把$x^{2}-4x$作为整体代入,得$x^{2}-4x-7= 1-7= -6$。
即：把已知条件适当变形,再整体代入解决问题。
【迁移应用】
(1)已知$x= \sqrt {5}-2$,求代数式$x^{2}+4x-10$的值。
解: 由$x=\sqrt {5}-2$,得$x+2=\sqrt {5}$,
所以$(x+2)^{2}=(\sqrt {5})^{2}$,即$x^{2}+4x+4=5$,所以$x^{2}+4x=1$,
所以$x^{2}+4x-10=1-10=-9$。
(2)已知$a= \frac {1}{\sqrt {10}-3}$,求代数式$3a^{2}-18a+5$的值。
解:$a=\frac {1}{\sqrt {10}-3}=\frac {\sqrt {10}+3}{(\sqrt {10}-3)(\sqrt {10}+3)}=\sqrt {10}+3$,
所以$a-3=\sqrt {10}$,所以$(a-3)^{2}=10$,
所以$a^{2}-6a+9=10$,得$a^{2}-6a=1$,
所以$3a^{2}-18a+5=3(a^{2}-6a)+5=3×1+5=8$。

答案： 解:
(1) 由$x=\sqrt {5}-2$,得$x+2=\sqrt {5}$,
所以$(x+2)^{2}=(\sqrt {5})^{2}$,即$x^{2}+4x+4=5$,所以$x^{2}+4x=1$,
所以$x^{2}+4x-10=1-10=-9$。
(2)$a=\frac {1}{\sqrt {10}-3}=\frac {\sqrt {10}+3}{(\sqrt {10}-3)(\sqrt {10}+3)}=\sqrt {10}+3$,
所以$a-3=\sqrt {10}$,所以$(a-3)^{2}=10$,
所以$a^{2}-6a+9=10$,得$a^{2}-6a=1$,
所以$3a^{2}-18a+5=3(a^{2}-6a)+5=3×1+5=8$。