《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

如图,有一张直角三角形纸片ABC,$∠ACB= 90^{\circ },AC= 8cm,BC= 6cm$,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则CE的长为(2cm)
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm

答案： B 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，所以AC²+BC²=AB²，因为AC=8cm，BC=6cm，所以AB=10cm。由折叠的性质得AE=AB，所以CE=AE-AC=AB-AC=2cm。

如图,$Rt\triangle ABC$中,$AC= 6,BC= 12,∠C= 90^{\circ }$,将$\triangle ABC$折叠后点A恰好落在BC边上的点D处,折痕为MN,$CD= \frac{1}{3}BC$,则线段CN的长为($\frac{5}{3}$)
A. 2
B. 3
C. $\frac{5}{3}$
D. $\frac{10}{3}$

答案： C 因为BC=12，$CD= \frac{1}{3}BC，$所以$CD= \frac{1}{3}×12=4，$设CN=x，因为AC=6，将△ABC折叠后点A恰好落在BC边上的点D处，折痕为MN，所以DN=AN=AC-CN=6-x，因为∠C=90°，所以CN²+CD²=DN²，即x²+4²=(6-x)²，解得$x= \frac{5}{3}，$即$CN= \frac{5}{3}。$
方法指导
解决折叠问题要注意两点：一是明确折叠属于轴对称变换，折叠前后对应的线段相等，角相等；二是将相关量集中在某个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解。

3 [折叠两锐角顶点,重合于斜边上一点][2025镇江期中]如图,三角形纸片ABC中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= 2,AC= 3$。沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合。若折痕与AC的交点为E,则AE的长是($\frac{13}{6}$)

A. $\frac{13}{6}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{7}{6}$
D. $\frac{6}{5}$

答案： A 因为沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，所以AD=AB=2，∠B=∠ADB。因为折叠纸片，使点C与点D重合，所以CE=DE，∠C=∠CDE。因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90°，所以∠ADB+∠CDE=90°，所以∠ADE=90°（得到直角三角形），所以AD²+DE²=AE²，设AE=x，则CE=DE=3-x，所以2²+(3-x)²=x²，所以$x= \frac{13}{6}，$即$AE= \frac{13}{6}。$

4 [折叠直角顶点,落在斜边上]如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 6,BC= 8$,点D,E分别在AC,BC上,且$DE// AB$。将$\triangle ABC$沿DE折叠,使点C落在斜边AB上的点F处,则AF的长是( )
A. 3.6
B. 4
C. 4.8
D. 6.4

答案：
A 如图，连接CF，根据题意，得CF⊥DE。因为DE//AB，所以CF⊥AB。因为∠ACB=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10，所以$S_{△ABC}= \frac{1}{2}AC·BC= \frac{1}{2}AB·CF，$所以CF=4.8，所以AF²=AC²-CF²=6²-4.8²=3.6²，所以AF=3.6。

5 [特殊情形][2024汉中期末]小王剪了两张直角三角形纸片,分别进行了如下的操作:
操作一 如图1,小王拿出一张直角三角形纸片ABC,将$Rt\triangle ABC$折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE。
(1)若$AC= 6cm,AB= 10cm$,则$\triangle ACD$的周长为14cm;
(2)若$∠CAD:∠BAD= 1:4$,则$∠B$的度数为40°。
操作二 如图2,小王拿出另一张直角三角形纸片ABC,将直角边AC沿AD折叠,使它落在斜边AB上,且点C与点E重合。若$AC= 9cm,AB= 15cm$,请求出CD的长。4.5cm

答案： 解：操作一
(1)14
在Rt△ABC中，∠C=90°，所以BC²+AC²=AB²，即BC²+6²=10²，所以BC=8cm。由折叠的性质，得AD=BD，所以△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+8=14(cm)。
(2)40°
设∠CAD=α，则∠BAD=4α，由折叠的性质，得∠B=∠BAD=4α。因为∠B+∠CAD+∠BAD=90°，即4α+α+4α=90°，所以α=10°，所以∠B=40°。
操作二 在Rt△ABC中，∠C=90°，所以BC²=AB²-AC²=15²-9²=144，所以BC=12cm。由折叠的性质，可知CD=DE，AE=AC=9cm，∠DEA=∠C=90°。因为AB=15cm，所以BE=AB-AE=6cm。设CD=x cm，则BD=(12-x)cm，DE=CD=x cm。因为∠DEB=180°-∠DEA=90°，所以DE²+BE²=BD²，即x²+6²=(12-x)²，解得x=4.5。
故CD的长为4.5cm。
策略点拨
利用勾股定理求折叠问题中线段长的思路
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知数或含x的代数式表示出其他线段的长；
(3)在直角三角形中应用勾股定理列出关于x的方程；
(4)解这个方程，从而求出线段的长。