《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

8 小明说$\left\{\begin{array}{l} x= -1,\\ y= 2\end{array}\right. $为关于x,y的方程$ax+by= 10$的解,小惠说$\left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= -1\end{array}\right. $为关于x,y的方程$ax+by= 10$的解。两人谁也不能说服对方,如果你想让他们的解都正确,那么需要添加的条件是(D)
A. $a= 12,b= 12$
B. $a= 9,b= 10$
C. $a= 10,b= 11$
D. $a= 10,b= 10$

答案： D 由题意可知，$\begin{cases}-a + 2b = 10,① \\ 2a - b = 10,②\end{cases}$ 由①，得 $a = 2b - 10$③，
将③代入②，得 $2(2b - 10) - b = 10$，解得 $b = 10$，将 $b = 10$ 代入③，得 $a = 10$。

9 [2024广州七中期中]已知t满足方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x= 3-t,\\ 3y-2t= x,\end{array}\right. $则x和y之间满足的关系是$y=$$2 - x$。

答案： $2 - x$ $\begin{cases}2x = 3 - t,① \\ 3y - 2t = x,②\end{cases}$ 由①，得 $t = 3 - 2x$，代入②，得 $3y - 2(3 - 2x) = x$，整理，得 $y = 2 - x$。

10 [2025中卫三中期末]若实数a,b满足$(a+b-2)^{2}+\sqrt {(b-2a+3)}= 0$,则$2b-a+1= $0。

答案： 0 因为 $(a + b - 2)^2 \geq 0$，$\sqrt{(b - 2a + 3)} \geq 0$，$(a + b - 2)^2 + \sqrt{(b - 2a + 3)} = 0$，所以 $\begin{cases}a + b - 2 = 0, \\ b - 2a + 3 = 0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = \frac{5}{3}, \\ b = \frac{1}{3},\end{cases}$ 所以 $2b - a + 1 = 2 \times \frac{1}{3} - \frac{5}{3} + 1 = 0$。

11 [2025四平期末]若$2^{x}= 4^{y+1},27^{y}= 3^{x-1}$,则$x-y$的值为____3。

答案： 3 因为 $2^x = 4^{y + 1} = 2^{2y + 2}$，$27^y = 3^{3y} = 3^{x - 1}$，所以 $\begin{cases}x = 2y + 2, \\ 3y = x - 1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 4, \\ y = 1,\end{cases}$ 则 $x - y = 4 - 1 = 3$。

12 [2025济南历下区期末]已知关于x,y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} x-2y= 2m+3,\\ 2x-y= -3\end{array}\right. $的解互为相反数,则m的值为____-3。

答案： -3 $\begin{cases}x - 2y = 2m + 3,① \\ 2x - y = -3,②\end{cases}$ 由题意，得 $y = -x$③，将③代入②，得 $2x + x = -3$，解得 $x = -1$，所以 $y = 1$，将 $x = -1$，$y = 1$ 代入①，得 $-1 - 2 = 2m + 3$，解得 $m = -3$。

13 [2025杭州外国语学校期中]解下列方程组：
(1)$\left\{\begin{array}{l} 3(y-2)= x+1,\\ 2(x-1)= 5y-8;\end{array}\right. $
解：由原方程组，得 $\begin{cases}x - 3y = -7,① \\ 2x - 5y = -6,②\end{cases}$
由①，得 $x = 3y - 7$，③
把③代入②，得 $2(3y - 7) - 5y = -6$，解得 $y =$8。
把 $y = 8$ 代入③，得 $x =$17。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x =$17, \\ y =$8\end{cases}$。
(2)一题多解$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+1}{3}= 2y,\\ 2(x+1)-y= 11。\end{array}\right. $
通解 由原方程组，得 $\begin{cases}x = 6y - 1,① \\ 2x - y = 9,②\end{cases}$
把①代入②，得 $2(6y - 1) - y = 9$，解得 $y =$1。
把 $y = 1$ 代入①，得 $x =$5。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x =$5, \\ y =$1\end{cases}$。
优解 $\begin{cases}\frac{x + 1}{3} = 2y,① \\ 2(x + 1) - y = 11,②\end{cases}$
由①，得 $x + 1 = 6y$，③
把③代入②，得 $2 × 6y - y = 11$，解得 $y =$1。
把 $y = 1$ 代入③，得 $x + 1 = 6$，解得 $x =$5。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x =$5, \\ y =$1\end{cases}$。

答案： 解：
(1) 由原方程组，得 $\begin{cases}x - 3y = -7,① \\ 2x - 5y = -6,②\end{cases}$
由①，得 $x = 3y - 7$，③
把③代入②，得 $2(3y - 7) - 5y = -6$，解得 $y = 8$。
把 $y = 8$ 代入③，得 $x = 17$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 17, \\ y = 8\end{cases}$。
(2) 通解 由原方程组，得 $\begin{cases}x = 6y - 1,① \\ 2x - y = 9,②\end{cases}$
把①代入②，得 $2(6y - 1) - y = 9$，解得 $y = 1$。
把 $y = 1$ 代入①，得 $x = 5$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 5, \\ y = 1\end{cases}$。
优解 $\begin{cases}\frac{x + 1}{3} = 2y,① \\ 2(x + 1) - y = 11,②\end{cases}$
由①，得 $x + 1 = 6y$，③
把③代入②，得 $2 \times 6y - y = 11$，解得 $y = 1$。
把 $y = 1$ 代入③，得 $x + 1 = 6$，解得 $x = 5$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 5, \\ y = 1\end{cases}$。

14 [2024咸阳期中]甲、乙两人同时解方程组$\left\{\begin{array}{l} ax+y= 3,\\ x-by= 2,\end{array}\right. $甲看错了b,求得解为$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= -1;\end{array}\right. $乙看错了a,求得解为$\left\{\begin{array}{l} x= -1,\\ y= 3。\end{array}\right. 求a+b$的值。3

答案： 解：将 $\begin{cases}x = 1, \\ y = -1\end{cases}$ 代入 $ax + y = 3$，
得 $a - 1 = 3$，解得 $a = 4$，
将 $\begin{cases}x = -1, \\ y = 3\end{cases}$ 代入 $x - by = 2$，
得 $-1 - 3b = 2$，解得 $b = -1$，
所以 $a + b = 4 - 1 = 3$。

解方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-3y-2= 0,\\ \frac {2x-3y+5}{7}+2y= 9。\end{array}\right. $时，可由①，得$2x-3y=$2③，再将③代入②，得$\frac {2+5}{7}+2y=9$，解得$y=$4，进一步得$\left\{\begin{array}{l} x=7,\\ y=4。\end{array}\right. $

答案： 解：$\begin{cases}2x - 3y - 2 = 0,① \\ \frac{2x - 3y + 5}{7} + 2y = 9,②\end{cases}$
由①，得 $2x - 3y = 2$，③
把③代入②，得 $\frac{2 + 5}{7} + 2y = 9$，解得 $y = 4$。
把 $y = 4$ 代入③，得 $2x - 3 × 4 = 2$，解得 $x = 7$。
故原方程组的解为 $\begin{cases}x = 7, \\ y = 4\end{cases}$。
策略点拨
整体代入法在解方程组中的应用
(1) 观察方程组的特点，从已知方程组中找到可作为整体的式子，如本题把 $2x - 3y$ 看作一个整体；
(2) 把看作整体的式子代入原方程组中的另一个方程，得到一个简单方程并求解；
(3) 利用
(2) 中的解即可得到原方程组的解。