《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 [2024宿迁宿城区期末]如图,已知直线$l_{1}:y= kx+2$与x轴交于点B,与y轴交于点C,与直线$l_{2}:y= 5x+20交于点P(-3,a)$,直线$l_{2}$与x轴交于点A。
(1)直接写出点P的坐标;((-3,5))
(2)求直线$l_{1}$的函数表达式;(y=-x+2)
(3)求四边形OAPC的面积。(13)

答案： 解：
(1)$P(-3,5)$。
因为直线$l_{2}:y = 5x + 20$经过点$P(-3,a)$，所以$a = -15 + 20 = 5$，所以点$P$的坐标为$(-3,5)$。
(2)把点$P(-3,5)$的坐标代入$y = kx + 2$，得$5 = -3k + 2$，解得$k = -1$，
所以直线$l_{1}$的函数表达式为$y = -x + 2$。
(3)把$y = 0$代入$y = -x + 2$，得$-x + 2 = 0$，解得$x = 2$，
把$x = 0$代入$y = -x + 2$，得$y = 2$，
所以$B(2,0)$，$C(0,2)$，所以$OB = 2$，$OC = 2$。
把$y = 0$代入$y = 5x + 20$，得$5x + 20 = 0$，
解得$x = -4$，所以$A(-4,0)$，所以$AB = 6$，
所以四边形$OAPC$的面积为$S_{\triangle ABP} - S_{\triangle COB} = \frac{1}{2}×6×5 - \frac{1}{2}×2×2 = 13$。

2 [2025沈阳皇姑区期末]如图,在平面直角坐标系中,直线$y= kx+b$与x轴交于点$B(-4,0)$,与y轴交于点A,直线$y= -2x+4$过点A,与x轴交于点C。
(1)点A的坐标是____;直线AB的函数表达式是____。
(2)若点P是直线AB上一动点,且$S_{\triangle PBC}= S_{\triangle AOB}$,求P点的坐标。
(3)点M在第二象限,当$S_{\triangle MAB}= S_{\triangle AOB}$时,动点N从点B出发,先运动到点M,再从点M运动到点C后停止运动。点N的运动速度始终为每秒1个单位,运动的总时间为t秒,请求出t的最小值。

答案：
解：
(1)$(0,4)$ $y = x + 4$
因为点$A$在$y$轴上，直线$y = -2x + 4$过点$A$，所以点$A$的坐标为$(0,4)$，将点$A(0,4)$和点$B(-4,0)$的坐标代入$y = kx + b$，得$b = 4$，$-4k + b = 0$，所以$k = 1$，所以直线$AB$的函数表达式为$y = x + 4$。
(2)由题意，设点$P$的坐标为$(p,p + 4)$，
因为直线$y = -2x + 4$与$x$轴交于点$C$，
所以令$y = 0$，得$x = 2$，所以点$C$的坐标为$(2,0)$，
因为点$A(0,4)$，点$B(-4,0)$，
所以$OA = 4$，$OB = 4$，$BC = 6$，
所以$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}×4×4 = 8$，所以$S_{\triangle PBC} = S_{\triangle AOB} = 8$，
所以$\frac{1}{2}×6×|p + 4| = 8$，解得$p = -\frac{4}{3}$或$-\frac{20}{3}$，
所以点$P$的坐标为$(-\frac{4}{3},\frac{8}{3})$或$(-\frac{20}{3},-\frac{8}{3})$。
(3)因为点$M$在第二象限，$S_{\triangle MAB} = S_{\triangle AOB}$，
所以$M$在过点$D(0,8)$且平行于$AB$的线段$DE$（不含端点）上，如图，
所以直线$DE$的函数表达式为$y = x + 8$，所以$E(-8,0)$，
所以$OD = OE = 8$，所以$∠OED = 45^{\circ}$，
作点$B$关于$DE$的对称点$B'$，连接$CB'$，$BB'$，$EB'$，交线段$DE$点$M$，连接$BM$，则$BM + CM$的最小值即$CB'$的长，
所以$DE⊥BB'$，$EB' = EB = 4$，$BM = B'M$，$∠B'EM = ∠BEM = 45^{\circ}$，
所以$∠BEB' = 90^{\circ}$，
所以$B'(-8,4)$，所以$CB' = \sqrt{4^{2} + (2 + 8)^{2}} = 2\sqrt{29}$，
因为点$N$的运动速度始终为每秒$1$个单位，运动的总时间为$t$秒，所以$t$的最小值为$2\sqrt{29}$。