《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 [2024自贡期中]解方程组$\left\{\begin{array}{l} ax+by= 6,\\ cx-4y= -2\end{array}\right. $时,小强正确解得$\left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= 2,\end{array}\right. $而小刚只看错了c,解得$\left\{\begin{array}{l} x= -2,\\ y= 4。\end{array}\right. $
(1)小刚把c错看成了-7，原方程组中c的值是3。
(2)a的值为1，b的值为2。

答案： 解：
(1)把$\left\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=4\end{array}\right. $代入$cx - 4y = - 2$，得$-2c - 16 = - 2$，解得$c = - 7$，所以小刚把$c$错看成了$-7$，把$\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = 2\end{array}\right. $代入$cx - 4y = - 2$，得$2c - 8 = - 2$，解得$c = 3$，所以原方程组中$c$的值是$3$。
(2)由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 2a + 2b = 6,\\ - 2a + 4b = 6,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a = 1,\\ b = 2,\end{array}\right. $所以$a$，$b$的值分别为$1$，$2$。

2 [2025重庆八中期中]已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+y= 3k+2,\\ 4x-3y= -k+5,\end{array}\right. 若x-2y= 1$,则k的值为($\frac{1}{4}$)
A.$\frac {1}{4}$
B.$-\frac {1}{4}$
C.$\frac {1}{2}$
D.$-\frac {1}{2}$

答案： A $\left\{\begin{array}{l} 2x + y = 3k + 2,\enclose{circle} {1}\\ 4x - 3y = - k + 5,\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $②$ - $①，得$2x - 4y = - 4k + 3$，所以$x - 2y = \frac{-4k + 3}{2}$，因为$x - 2y = 1$，所以$\frac{-4k + 3}{2} = 1$，解得$k = \frac{1}{4}$。

3 一题多解 已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y= 3m,\\ x-y= 9m\end{array}\right. $的解满足方程3x+2y= 17,求m的值。
解：通解 $\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3m,\enclose{circle} {1}\\ x - y = 9m,\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $①$ + $②$× 2$，得$3x = 21m$，解得$x = 7m$，①$ - $②，得$3y = - 6m$，解得$y = - 2m$，把$x = 7m$，$y = - 2m$代入$3x + 2y = 17$，得$3× 7m + 2× (-2m) = 17$，解得$m = $1。另解 $\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3m,\enclose{circle} {1}\\ x - y = 9m,\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $①$× 3 - $②，得$2x + 7y = 0$，即$x = -\frac{7}{2}y$。③把③代入$3x + 2y = 17$，得$3× (-\frac{7}{2}y) + 2y = 17$，解得$y = - 2$。把$y = - 2$代入③，得$x = 7$。把$x = 7$，$y = - 2$代入②，得$m = $1。#### 归纳总结已知方程组的解满足另一个二元一次方程，求字母的值的方法方法一：把方程组中的字母看成已知数，先用含字母的式子把方程组的解表示出来，再代入另一个二元一次方程，得到关于字母的一元一次方程，解方程即可求出字母的值。方法二：由方程组中的两个方程利用加减消元法消去字母，得到关于两个未知数的二元一次方程，与另一个二元一次方程组成方程组，求出两个未知数的值，进而求得字母的值。方法三：当方程组中一个方程含有字母，另一个方程不含有字母时，联立不含字母的方程与另一个二元一次方程得到方程组，先求出方程组的解，再代入求得字母的值。

答案： 解：通解 $\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3m,\enclose{circle} {1}\\ x - y = 9m,\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $①$ + $②$\times 2$，得$3x = 21m$，解得$x = 7m$，①$ - $②，得$3y = - 6m$，解得$y = - 2m$，把$x = 7m$，$y = - 2m$代入$3x + 2y = 17$，得$3\times 7m + 2\times (-2m) = 17$，解得$m = 1$。另解 $\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 3m,\enclose{circle} {1}\\ x - y = 9m,\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $①$\times 3 - $②，得$2x + 7y = 0$，即$x = -\frac{7}{2}y$。③把③代入$3x + 2y = 17$，得$3\times (-\frac{7}{2}y) + 2y = 17$，解得$y = - 2$。把$y = - 2$代入③，得$x = 7$。把$x = 7$，$y = - 2$代入②，得$m = 1$。#### 归纳总结已知方程组的解满足另一个二元一次方程，求字母的值的方法方法一：把方程组中的字母看成已知数，先用含字母的式子把方程组的解表示出来，再代入另一个二元一次方程，得到关于字母的一元一次方程，解方程即可求出字母的值。方法二：由方程组中的两个方程利用加减消元法消去字母，得到关于两个未知数的二元一次方程，与另一个二元一次方程组成方程组，求出两个未知数的值，进而求得字母的值。方法三：当方程组中一个方程含有字母，另一个方程不含有字母时，联立不含字母的方程与另一个二元一次方程得到方程组，先求出方程组的解，再代入求得字母的值。

4 已知m比n大1,关于x,y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} 4x-3y= 21,\\ mx-ny= 9\end{array}\right. $的解中x和y互为相反数,求m,n的值。
m的值为2，n的值为1。

答案： 解：由题意，得$x + y = 0$，$m = n + 1$。把$4x - 3y = 21$，$x + y = 0$联立，得$\left\{\begin{array}{l} 4x - 3y = 21,\\ x + y = 0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = - 3。\end{array}\right. $把$\left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = - 3\end{array}\right. $代入$mx - ny = 9$，得$3m + 3n = 9$，即$m + n = 3$。把$m = n + 1$，$m + n = 3$联立，得$\left\{\begin{array}{l} m = n + 1,\\ m + n = 3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m = 2,\\ n = 1。\end{array}\right. $

5 [2024杭州拱墅区期中]已知关于x,y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} 3x-5y= 36,\\ bx+ay= -8\end{array}\right. $与方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+5y= -26,\\ ax-by= -4\end{array}\right. $有相同的解。
(1)求这两个方程组的相同解;$\left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=-6\end{array}\right. $
(2)求$(a+2b)^{2024}$的值。1

答案： 解：
(1)根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 3x - 5y = 36,\\ 2x + 5y = - 26,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = - 6,\end{array}\right. $即这两个方程组的相同解是$\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = - 6。\end{array}\right. $
(2)把$\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = - 6\end{array}\right. $分别代入方程$bx + ay = - 8$和$ax - by = - 4$，得$\left\{\begin{array}{l} 2b - 6a = - 8,\\ 2a + 6b = - 4,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a = 1,\\ b = - 1,\end{array}\right. $所以$(a + 2b)^{2024} = (1 - 2)^{2024} = 1$。#### 归纳总结两个方程组同解问题两个方程组的解相同，即这两个方程组的解是这四个方程的公共解。解决这种问题的常用方法：先将两个不含字母的二元一次方程联立得到一个方程组，求出该方程组的解，再将所得的解代入另两个含字母的方程，进而求出字母的值。