《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 [新趋势·数学文化][2024南阳期末]勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图1所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”。图2由“弦图”变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNXT的面积分别为$S_{1},S_{2},S_{3}$,若$S_{1}+S_{2}+S_{3}= 24$,则正方形EFGH的面积为____8____。

答案： 8 设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为$a,b$，则$S_{1}=(a+b)^{2},S_{2}=a^{2}+b^{2},S_{3}=(a-b)^{2}$。因为$S_{1}+S_{2}+S_{3}=24$，所以$(a+b)^{2}+a^{2}+b^{2}+(a-b)^{2}=24$，所以$3(a^{2}+b^{2})=24$，所以$a^{2}+b^{2}=8$，即正方形$EFGH$的面积为8。

在$Rt△ABC$中,$AB= 8$,$BC= 6$,则以AC为边的正方形的面积为100或28。

答案： 100或28 当$AB$是直角边时，在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$，所以以$AC$为边的正方形的面积为100；当$AB$是斜边时，在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}=8^{2}-6^{2}=64-36=28$，所以以$AC$为边的正方形的面积为28。综上，以$AC$为边的正方形的面积为100或28。

3 [2025无锡期中改编]已知$△ABC$中,$AB= 17$,$AC= 10$,BC边上的高$AD= 8$。求边BC的长。

答案：
解题思路：高$AD$可能在$\triangle ABC$的内部也可能在$\triangle ABC$的外部，本题应分两种情况进行讨论，分别依据勾股定理求解即可。
解：分两种情况：
①若高$AD$在$\triangle ABC$的内部，如图1，
在$Rt\triangle ABD$中，$AB=17,AD=8$，所以$BD=15$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC=10,AD=8$，所以$CD=6$，
所以$BC=15+6=21$。

②若高$AD$在$\triangle ABC$的外部，如图2，
同理可得，$BD=15,CD=6$，所以$BC=15-6=9$。
综上，$BC$的长是21或9。

4 [新趋势·数学文化][2024沈阳浑南区期末]《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载：今有开门去阃一尺,不合二寸。问门广几何。题目大意：如图1,2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的长为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺= 10寸),则AB的长是( )


A. 50.5寸
B. 52寸
C. 101寸
D. 104寸

答案：
C 如图，由题意，得$OA=OB=AD=BC,DE=10$寸，$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸。设$OA=AD=r$寸，则$AB=2r$寸，$AE=(r-1)$寸。在$Rt\triangle ADE$中，$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，即$(r-1)^{2}+10^{2}=r^{2}$，解得$r=50.5$，所以$AB=2r=101$（寸）。

5 [2024漯河实验中学月考]如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处爬到树顶A处,利用滑绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B处,再由B处跑到C处,已知两只猴子所经路程都是16m,求树高AB。

解：由题意可得，$BD=10m$，则$BC=6m$，
设$AD=xm$，则$AB=(10+x)m,AC=(16-x)m$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，
即$(10+x)^{2}+6^{2}=(16-x)^{2}$，解得$x=\frac{30}{13}$，
所以$AB=10+\frac{30}{13}=$$\frac{160}{13}$$m$，所以树高$AB$为$\frac{160}{13}$$m$。

答案： 解：由题意可得，$BD=10m$，则$BC=6m$，
设$AD=xm$，则$AB=(10+x)m,AC=(16-x)m$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，
即$(10+x)^{2}+6^{2}=(16-x)^{2}$，解得$x=\frac{30}{13}$，
所以$AB=10+\frac{30}{13}=\frac{160}{13}(m)$，所以树高$AB$为$\frac{160}{13}m$。

6 [2025贵阳月考]在直线l上依次摆放着七个正方形(如图)。已知斜放的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放的四个正方形的面积依次是$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$,则$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}= $____。

答案：
4 如图，易得$Rt\triangle ACB\cong Rt\triangle BDE$，所以$BC=ED$，所以$AC^{2}+ED^{2}=AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}=1$，所以$S_{1}+S_{2}=1$。同理可得$S_{3}+S_{4}=3$，所以$S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}=1+3=4$。