《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 教材习题变式 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形的边AE,EB在一条直线上。证明中用到的面积相等关系是($ S_{\triangle EDA} + S_{\triangle CDE} + S_{\triangle CEB} = S_{四边形ABCD} $)

A. $S_{△EDA}= S_{△CEB}$
B. $S_{△EDA}+S_{△CEB}= S_{△CDE}$
C. $S_{四边形CDAE}= S_{四边形CDEB}$
D. $S_{△EDA}+S_{△CDE}+S_{△CEB}= S_{四边形ABCD}$

答案： 1 D 由 $ S_{\triangle EDA} + S_{\triangle CDE} + S_{\triangle CEB} = S_{四边形ABCD} $，可知 $ \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^{2} + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(a + b)^{2} $，所以 $ c^{2} + 2ab = a^{2} + 2ab + b^{2} $，整理得 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $，所以证明中用到的面积相等关系是 $ S_{\triangle EDA} + S_{\triangle CDE} + S_{\triangle CEB} = S_{四边形ABCD} $。

2 用如图1所示的四个完全一样的直角三角形可以拼成如图2所示的大正方形。解答下列问题:
(1)请用含a,b,c的代数式表示大正方形的面积。
代数式1:$(a - b)^{2} + 4 × \frac{1}{2}ab$。
代数式2:$c^{2}$。
(2)根据图2及图形的面积关系,推导a,b,c之间满足的关系式。
由(1)可知，$(a - b)^{2} + 4 × \frac{1}{2}ab = c^{2}$，即$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
(3)利用(2)的关系式解答:如果大正方形的面积是25,且$(a+b)^{2}= 49$,求图2中小正方形的面积。
由(2)知，$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。因为$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = c^{2} + 4 × \frac{1}{2}ab = 49$，即大正方形的面积与四个直角三角形的面积和为49，所以四个直角三角形的面积和为$49 - c^{2} = 49 - 25 = 24$，所以小正方形的面积为$25 - 24 = 1$。

答案： 2 解：
(1) $ (a - b)^{2} + 4 \times \frac{1}{2}ab $ $ c^{2} $
(2) 由
(1)可知，$ (a - b)^{2} + 4 \times \frac{1}{2}ab = c^{2} $，即 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $。
(3) 由
(2)知，$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $。因为 $ (a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = c^{2} + 4 \times \frac{1}{2}ab = 49 $，即大正方形的面积与四个直角三角形的面积和为 49，所以四个直角三角形的面积和为 $ 49 - c^{2} = 49 - 25 = 24 $，所以小正方形的面积为 $ 25 - 24 = 1 $。

3 [2025平顶山月考]如图,某学校举办元旦联欢会,准备在舞台一侧长5m、高3m的台阶上铺设红地毯,已知台阶的宽为3m,则至少需购买红地毯(21m²)

A. $21m^{2}$
B. $45m^{2}$
C. $24m^{2}$
D. $12m^{2}$

答案： 3 A 根据题意可得，$ 5^{2} - 3^{2} = 4^{2} $，则需购买红地毯的长为 $ 4 + 3 = 7(m) $，因为红地毯的宽等于台阶的宽，所以至少需购买红地毯 $ 3 × 7 = 21(m^{2}) $。

4 [2025烟台福山区期末]如图,已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC的长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'的长为8m,则BB'的长为(2m)
A. 1m
B. 2m
C. 3m
D. 4m

答案： 4 B 因为 $ AC = 10m $，$ BC = 6m $，所以 $ AB^{2} = AC^{2} - BC^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 8^{2} $，所以 $ AB = 8m $。因为 $ AC' = 10m $，$ B'C' = 8m $，所以 $ AB'^{2} = AC'^{2} - B'C'^{2} = 10^{2} - 8^{2} = 6^{2} $，所以 $ AB' = 6m $，所以 $ BB' = AB - AB' = 8 - 6 = 2(m) $。

5 [2025重庆南开中学期中]小宁在迪卡侬购买了拳击反应球作为居家健身器材。如图,若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段OA,当反应球被击打时,可看作线段OA绕着点O旋转得到线段OA'(在安全角度范围内旋转)。小宁击打反应球后A'与支架OA的水平距离为A'B,当A'B= 50cm时,AB= 10cm,则球体支架OA= ______cm。130

答案： 5 130 由题意可知，$ \angle A'BO = 90^{\circ} $，设球体支架 $ OA = x cm $，则 $ OA' = x cm $，$ OB = (x - 10)cm $，在 $ Rt \triangle OA'B $ 中，由勾股定理，得 $ 50^{2} + (x - 10)^{2} = x^{2} $，解得 $ x = 130 $，即球体支架 $ OA = 130 cm $。

6 新情境[2025成都树德实验中学期末]如图,一天傍晚,小方和家人去小区遛狗,小方观察发现,她站直身体时,牵绳的手离地面高度为AB= 13分米,小狗的高CD= 3分米,小狗与小方的距离AC= 24分米(绳子一直是直的)。则牵狗绳BD= ______分米。

答案：
6 26 如图，过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 于点 $ E $，则 $ AE = CD = 3 $ 分米，$ DE = AC = 24 $ 分米，所以 $ BE = AB - AE = 10 $ 分米，所以 $ BD^{2} = BE^{2} + DE^{2} = 26^{2} $，所以 $ BD = 26 $ 分米，所以此时牵狗绳 $ BD $ 的长为 26 分米。