《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 [2025抚州临川一中期中]
某正比例函数的图象如图所示,则此正比例函数的表达式为 (A)

A. $ y = -\frac{1}{2}x $
B. $ y = \frac{1}{2}x $
C. $ y = -2x $
D. $ y = 2x $

答案： A 设正比例函数的表达式为y=kx，由题中图象可知，直线过点(−2,1)，所以1 = −2k，所以k = −$\frac{1}{2}$，所以正比例函数的表达式为y = −$\frac{1}{2}$x。

若一个正比例函数的图象经过点$(2,-3)$,则这个图象也经过点 (C)
A. $(-3,2)$
B. $(\frac{3}{2},-1)$
C. $(\frac{2}{3},-1)$
D. $(-\frac{3}{2},1)$

答案： C 因为正比例函数y = kx经过点(2,−3)，所以−3 = 2k，解得k = −$\frac{3}{2}$，所以正比例函数的表达式是y = −$\frac{3}{2}$x。当x = −3时，y≠2，所以点(−3,2)不在该函数图象上；当x = $\frac{3}{2}$时，y≠−1，所以点($\frac{3}{2}$，−1)不在该函数图象上；当x = $\frac{2}{3}$时，y = −1，所以点($\frac{2}{3}$，−1)在该函数图象上；当x = −$\frac{3}{2}$时，y≠1，所以点(−$\frac{3}{2}$，1)不在该函数图象上。

3 [2024沈阳期中]如图,将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中,直线l经过小正方形的顶点A,B,则直线l的表达式为 (y = $\frac{1}{2}$x + 1)
A. $ y = \frac{1}{2}x + 1 $
B. $ y = \frac{1}{3}x + 1 $
C. $ y = \frac{2}{3}x + 1 $
D. $ y = \frac{3}{4}x + 1 $

答案： A 由题图可知，点A、B的坐标分别是(0,1)，(4,3)，设直线l的表达式为y = kx + b，将点A、B的坐标代入，得b = 1，4k + b = 3，所以k = $\frac{1}{2}$，所以直线l的表达式为y = $\frac{1}{2}$x + 1。

4 教材习题变式[2024安庆期末]一次函数$ y = kx + b $的图象经过点 A(2,3) ,当x每增加1个单位时,y增加3个单位,则此函数的表达式是 (B)
A. $ y = -3x - 5 $
B. $ y = 3x - 3 $
C. $ y = 3x + 1 $
D. $ y = 3x - 1 $

答案： B 因为当x每增加1个单位时，y增加3个单位，所以k = 3。因为一次函数y = kx + b的图象经过点A(2,3)，所以2×3 + b = 3，解得b = −3，所以此函数的表达式是y = 3x − 3。

5 [2024运城期末]如图,直线AB与x轴交于点$ A(1,0) $,与y轴交于点$ B(0,-2) $。
(1)求直线AB的表达式;y = 2x − 2
(2)若直线AB上有一点C,且$ S_{\triangle BOC} = 2 $,求点C的坐标。(2,2)或(−2,−6)

答案： 解：
(1)设直线AB的表达式为y = kx + b(k≠0)。因为点B(0,−2)在直线AB上，所以b = −2。因为点A(1,0)在直线AB上，所以k − 2 = 0，即k = 2，所以直线AB的表达式为y = 2x − 2。
(2)设点C的横坐标为x，因为S△BOC = 2，所以$\frac{1}{2}$×2×|x| = 2，解得x = ±2。因为点C是直线AB上的一点，所以当x = 2时，y = 2×2 − 2 = 2；当x = −2时，y = 2×(−2) − 2 = −6，所以点C的坐标是(2,2)或(−2,−6)。
解题通法
用待定系数法求函数表达式的一般步骤
(1)设：设出所求的表达式，正比例函数可设为y = kx(k≠0)，一次函数可设为y = kx + b(k≠0)。
(2)代：把已知条件(可以是已知函数图象上的两个点的坐标，也可以是满足表达式的两组x,y的值，还可以是已知函数图象上一点的坐标和满足表达式的一组x,y的值)代入所设的表达式，若是正比例函数，只需要一个点的坐标或一组x,y的值即可。
(3)求：解方程，求出关于待定系数的方程的解。
(4)写：将所求得的系数的值代回所设的表达式，写出函数表达式。
注意：用待定系数法求函数表达式时，要先判断函数的类型，再设所求函数的表达式，若题中没有明确说明是哪一类函数，则要通过分析题中所给的数量关系来判断。

6 跨学科·物理[2024东营中考]在弹性限度内,弹簧的长度$ y(cm) $是所挂物体质量 $ x(kg) $的一次函数。一根弹簧不挂物体时长12.5 cm,当所挂物体的质量为2 kg时,弹簧长13.5 cm,当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧的长度为15cm。

答案： 15cm 由题意，可设y与x的函数关系式为y = kx + 12.5，因为x = 2时，y = 13.5，所以13.5 = 2k + 12.5，得k = 0.5，所以y = 0.5x + 12.5，当x = 5时，y = 0.5×5 + 12.5 = 15。所以当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为15cm。

7 某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系,如图所示。
(1)求每位“快递小哥”的日收入$ y $(元)与日派送量$ x $(件)之间的函数关系式。$ y = x + 70 $
(2)已知某“快递小哥”的日收入不少于110元,则他至少要派送多少件?40

答案： 解：
(1)设y与x之间的函数关系式为y = kx + b(k≠0)，将(0,70)代入，得b = 70，将(30,100)代入，得30k + 70 = 100，解得k = 1，所以每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式为y = x + 70。
(2)由x + 70 = 110，得x = 40，结合题图知，他至少要派送40件，才能保证日收入不少于110元。