《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为m,n$(m＞n)$。若小正方形面积为5,$(m+n)^{2}= 21$,则大正方形面积为(13)
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15

答案： B 由题意可知，中间小正方形的边长为 $ m - n $，所以 $ (m - n)^{2}=5 $，即 $ m^{2}+n^{2}-2mn=5 $ ①，因为 $ (m + n)^{2}=21 $，所以 $ m^{2}+n^{2}+2mn=21 $ ②，① + ②得 $ 2(m^{2}+n^{2})=26 $，所以大正方形的面积为 $ m^{2}+n^{2}=13 $。

2 [2023天津中考]如图,在$\triangle ABC$中,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac {1}{2}AC$的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD。若$BD= DC$,$AE= 4$,$AD= 5$,则AB的长为(6)

A. 9
B. 8
C. 7
D. 6

答案： D 由题意得，$ MN $ 是 $ AC $ 的垂直平分线，所以 $ AC=2AE=8 $，$ DA=DC $，所以 $ \angle DAC=\angle C $。因为 $ BD=CD $，所以 $ BD=AD $，所以 $ \angle B=\angle BAD $。因为 $ \angle B+\angle BAD+\angle C+\angle DAC=180^{\circ} $，所以 $ 2\angle BAD+2\angle DAC=180^{\circ} $，所以 $ \angle BAD+\angle DAC=90^{\circ} $，所以 $ \angle BAC=90^{\circ} $。在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ BC=BD+CD=2AD=10 $，所以 $ AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=10^{2}-8^{2}=6^{2} $，所以 $ AB=6 $。

3 [新趋势·数学文化][2023泸州中考]《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式：$a= \frac {1}{2}(m^{2}-n^{2})$,$b= mn$,$c= \frac {1}{2}(m^{2}+n^{2})$,其中$m＞n＞0$,m,n是互质的奇数。下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是(C)
A. 3,4,5
B. 5,12,13
C. 6,8,10
D. 7,24,25

答案： C 当 $ m=3 $，$ n=1 $ 时，$ a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=\frac{1}{2} \times (3^{2}-1^{2})=4 $，$ b=mn=3 \times 1=3 $，$ c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=\frac{1}{2} \times (3^{2}+1^{2})=5 $，A 项不符合题意；当 $ m=5 $，$ n=1 $ 时，$ a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=\frac{1}{2} \times (5^{2}-1^{2})=12 $，$ b=mn=5 \times 1=5 $，$ c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=\frac{1}{2} \times (5^{2}+1^{2})=13 $，B 项不符合题意；当 $ m=7 $，$ n=1 $ 时，$ a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=\frac{1}{2} \times (7^{2}-1^{2})=24 $，$ b=mn=7 \times 1=7 $，$ c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=\frac{1}{2} \times (7^{2}+1^{2})=25 $，D 项不符合题意。

“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐。问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题。如图,已知$AC⊥BD$于点C,$AC= 5$,$DC= 1$,$BD= BA$,则$BC=$(12)
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13

答案： C 设 $ BC=x $，则 $ BD=BA=x + 1 $，在 $ Rt\triangle ABC $ 中，由勾股定理，得 $ AB^{2}=AC^{2}+BC^{2} $，即 $ (x + 1)^{2}=5^{2}+x^{2} $，解得 $ x=12 $，即 $ BC=12 $。

5 [2024陕西中考]如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作$BF// AC$,且$BF= AE$,连接CF。若$AC= 13$,$BC= 10$,则四边形EBFC的面积为____。

答案：
60 因为 $ AB=AC $，所以 $ \angle ABC=\angle ACB $，因为 $ BF // AC $，所以 $ \angle ACB=\angle CBF $，所以 $ \angle ABC=\angle CBF $，所以 $ BC $ 平分 $ \angle ABF $，如图，过点 $ C $ 作 $ CM \perp AB $ 于点 $ M $，$ CN \perp BF $ 于点 $ N $，则 $ CM=CN $，因为 $ S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AE \cdot CM $，$ S_{\triangle CBF}=\frac{1}{2}BF \cdot CN $，且 $ BF=AE $，所以 $ S_{\triangle CBF}=S_{\triangle ACE} $，所以四边形 $ EBFC $ 的面积为 $ S_{\triangle CBF}+S_{\triangle CBE}=S_{\triangle ACE}+S_{\triangle CBE}=S_{\triangle CBA} $，因为 $ AC=13 $，所以 $ AB=13 $，设 $ AM=x $，则 $ BM=13 - x $，由勾股定理，得 $ CM^{2}=AC^{2}-AM^{2}=BC^{2}-BM^{2} $，所以 $ 13^{2}-x^{2}=10^{2}-(13 - x)^{2} $，解得 $ x=\frac{119}{13} $，所以 $ CM=\frac{120}{13} $，所以 $ S_{\triangle CBA}=\frac{1}{2}AB \cdot CM=60 $，所以四边形 $ EBFC $ 的面积为 $ 60 $。

6 [2023随州中考]如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$AC= 8$,$BC= 6$,D为AC上一点,若BD是$∠ABC$的平分线,则$AD= $____。

答案：
5 如图，过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 于点 $ E $。因为 $ \angle C=90^{\circ} $，所以 $ CD \perp BC $。因为 $ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线，$ CD \perp BC $，$ DE \perp AB $，所以 $ CD=DE $。又因为 $ BD=BD $，所以 $ BC=BE=6 $（利用勾股定理得到）。在 $ Rt\triangle ABC $ 中，由勾股定理，得 $ AB=10 $，所以 $ AE=AB - BE=10 - 6=4 $，设 $ CD=DE=x $，则 $ AD=AC - CD=8 - x $。在 $ Rt\triangle ADE $ 中，$ AE^{2}+DE^{2}=AD^{2} $，即 $ 4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2} $，所以 $ x=3 $，所以 $ AD=8 - x=5 $。

7 [2024大庆中考]如图1,直角三角形的两个锐角分别是$40^{\circ }和50^{\circ }$,其三边上分别有一个正方形。执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为$40^{\circ }和50^{\circ }$的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。图2是1次操作后的图形。图3是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”。若图1中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为____。

答案：
48 如图，把题图 2 中各个小正方形标上字母，设正方形 $ A $ 的边长为 $ x $，正方形 $ B $ 的边长为 $ y $，所以正方形 $ A $ 的面积为 $ x^{2} $，正方形 $ B $ 的面积为 $ y^{2} $。由题意，得正方形 $ C $ 的边长为 $ 2 $，并且是直角三角形的斜边，所以正方形 $ C $ 的面积为 $ 4 $。根据勾股定理，得 $ x^{2}+y^{2}=2^{2}=4 $，所以正方形 $ A $ 的面积 + 正方形 $ B $ 的面积 $ =4 $，所以题图 1 中所有正方形的面积和为 $ 4 + 4=8 $。同理可得：正方形 $ E $ 的面积 + 正方形 $ F $ 的面积 $ = $ 正方形 $ A $ 的面积，正方形 $ G $ 的面积 + 正方形 $ H $ 的面积 $ = $ 正方形 $ B $ 的面积，所以正方形 $ E $ 的面积 + 正方形 $ F $ 的面积 + 正方形 $ G $ 的面积 + 正方形 $ H $ 的面积 $ = $ 正方形 $ A $ 的面积 + 正方形 $ B $ 的面积 $ =4 $，所以题图 2 中所有正方形的面积和为题图 1 中所有正方形的面积和 $ +4=12 $，即一次操作后所有正方形的面积和为题图 1 中所有正方形的面积和 $ +4=12 $。同理可得：2 次操作后增加的 8 个小正方形的面积和也是 $ 4 $，所以 2 次操作后所有正方形的面积和为题图 1 中所有正方形的面积和 $ +2 \times 4=8 + 8=16 $，所以 10 次操作后所有正方形的面积和为题图 1 中所有正方形的面积和 $ +10 \times 4=8 + 40=48 $。