《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

6 若点$A(2,-3)$,$B(4,3)$,$C(5,a)$在同一条直线上,则$a$的值是(6)
A. $6或-6$
B. $6$
C. $-6$
D. $6或3$

答案： B 设该直线对应的函数表达式为 $ y = kx + b(k \neq 0) $，把 $ A(2,-3) $ 的坐标，$ B(4,3) $ 的坐标分别代入 $ y = kx + b $，得 $ \begin{cases} -3 = 2k + b, \\ 3 = 4k + b, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 3, \\ b = -9, \end{cases} $ 所以 $ y = 3x - 9 $，因为点 $ C(5,a) $ 也在这条直线上，所以 $ a = 3 \times 5 - 9 = 6 $。

7 如图,在平面直角坐标系中放置三个长为$2$,宽为$1$的长方形,已知一次函数$y= kx+b的图象经过点A与点B$,则该一次函数表达式为$ y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} $。

答案： $ y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} $ 根据题意，得 $ A(-2,0) $，$ B(2,3) $，把 $ A(-2,0) $，$ B(2,3) $ 的坐标分别代入 $ y = kx + b $，得 $ \begin{cases} -2k + b = 0, \\ 2k + b = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = \frac{3}{4}, \\ b = \frac{3}{2}, \end{cases} $ 所以该一次函数表达式为 $ y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{2} $。

8 [2024无锡中考副卷]大运河畔有一条笔直的健身步道,小明、小亮分别从相距$1500m的M$,$N$两点同时出发,相向而行。两人离$M点的距离s关于时间t$的函数关系如图中折线所示。小明跑了一段路之后与小亮相距$250m$,休息$1\min之后与小亮相距400m$,小明继续跑了$4\min$后与小亮同时到达各自终点。
(1)$a$的值为10；
(2)求图中$BC$所对应的函数表达式；
(3)求小明、小亮相遇的时间。

答案： 解：
(1) 10 由题意可知，小亮的速度是 $ (400 - 250) \div 1 = 150(m/min) $，$ 1500 \div 150 = 10(min) $，所以 $ a = 10 $。
(2) $ 10 - 4 = 6(min) $，6 min 时小亮与 $ N $ 点的距离为 $ 150 \times 6 = 900(m) $，则此时小明与 $ M $ 点的距离为 $ 1500 - 900 + 400 = 1000(m) $，所以 $ B(6,1000) $。设 $ BC $ 对应的函数表达式为 $ s = kt + b(k \neq 0) $，将 $ B(6,1000) $，$ C(10,1500) $ 的坐标分别代入 $ s = kt + b $，得 $ \begin{cases} 6k + b = 1000, \\ 10k + b = 1500, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 125, \\ b = 250, \end{cases} $ 所以 $ BC $ 对应的函数表达式为 $ s = 125t + 250(6 \leq t \leq 10) $。
(3) 因为 $ B(6,1000) $，所以 $ A(5,1000) $，所以小明的速度为 $ 1000 \div 5 = 200(m/min) $，$ 1500 \div (200 + 150) = \frac{30}{7}(min) $，所以小明、小亮相遇的时间为 $ \frac{30}{7}min $。

9 应用意识[2025沈阳126中月考]小林生日时,妈妈送她一个斜挎包,如图1,包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成,通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短。单层部分的长度$x(cm)与双层部分的长度y(cm)$满足函数关系,经测量,得到如下数据：


(1)请在图2的平面直角坐标系中,描出各点,并把这些点依次连接起来,画出函数图象,根据图象猜想$y与x$是否满足一次函数的关系？如果是,请求出$y关于x$的函数表达式；如果不是,请说明理由。
(2)若刚买回来的斜挎包挎带全为双层,小林的身高最合适的挎带长度为$126cm$,调节挎带长度的方法是______。

答案：
解：
(1) 描点及函数图象如图所示。

因为图象是一条线段，所以 $ y $ 是 $ x $ 的一次函数。设 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = kx + b(k \neq 0) $，将 $ (60,40) $ 和 $ (70,35) $ 分别代入 $ y = kx + b $，得 $ \begin{cases} 60k + b = 40, \\ 70k + b = 35, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -\frac{1}{2}, \\ b = 70, \end{cases} $ 所以 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = -\frac{1}{2}x + 70(0 \leq x \leq 140) $。
(2) 调节挎带长度使单层部分的长度为 112 cm 当斜挎包挎带全为双层时，$ x = 0 $，则 $ y = 70 $，此时挎带长度为 $ 0 + 70 = 70(cm) $；当斜挎包挎带全为单层时，$ y = 0 $，得 $ -\frac{1}{2}x + 70 = 0 $，解得 $ x = 140 $，此时挎带长度为 $ 0 + 140 = 140(cm) $，所以挎带长度在 70 cm ~ 140 cm 之间，因为小林的身高最合适的挎带长度为 126 cm，所以挎带长度满足小林的身高要求。设调节挎带长度使单层部分的长度为 $ a cm $，则双层部分的长度为 $ (126 - a)cm $，则 $ -\frac{1}{2}a + 70 = 126 - a $，解得 $ a = 112 $，所以调节挎带长度使单层部分的长度为 112 cm。
策略点拨
用二元一次方程组和一次函数解决实际问题的一般步骤
(1) 分析问题：一种类型是借助图、表等手段分析题目中的数量关系，从而确定函数关系式；另一种类型是根据函数图象获取信息，分析数量关系。
(2) 确定模型：根据获取的信息确定一次函数模型。
(3) 解决问题：根据题目中的数量关系或者函数模型，将具体数值代入，从而解决问题。