《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

9 [2024烟台福山区质检]给出下列四个说法:
①由于0.3,0.4,0.5不是勾股数,所以以0.3,0.4,0.5为边长的三角形不是直角三角形;
②由于以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,所以0.5,1.2,1.3是勾股数;
③若a,b,c是勾股数,且c最大,则一定有$a^{2}+b^{2}= c^{2}$;
④若三个整数a,b,c(c最大)是直角三角形的三边长,则2a,2b,2c一定是勾股数。
其中正确的是 (③④)
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④

答案： C 由于0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，但是0.3² + 0.4² = 0.5²，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，故①说法错误；虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a² + b² = c²，故③说法正确；若三个整数a，b，c（c最大）是直角三角形的三边长，则a² + b² = c²，所以(2a)² + (2b)² = (2c)²，所以2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确。

10 [2024西安曲江一中期末]如图,在$4×4$的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则下列结论错误的是 (C)

A. $AB^{2}= 20$
B. $∠BAC= 90^{\circ}$
C. $\triangle ABC$的面积为10
D. 点A到直线BC的距离是2

答案： C A项，AB² = 2² + 4² = 20，结论正确，不符合题意；B项，因为AC² = 1² + 2² = 5，AB² = 2² + 4² = 20，BC² = 3² + 4² = 25，所以AC² + AB² = BC²，所以∠BAC = 90°，结论正确，不符合题意；C项，S△ABC = 4 × 4 - $\frac{1}{2}$ × 3 × 4 - $\frac{1}{2}$ × 1 × 2 - $\frac{1}{2}$ × 2 × 4 = 5，结论错误，符合题意；D项，设点A到直线BC的距离为h，因为BC² = 3² + 4² = 25，所以BC = 5，则$\frac{1}{2}$ × 5 × h = 5，解得h = 2，即点A到直线BC的距离是2，结论正确，不符合题意。

11 天星原创 如图,分别以$\triangle ABC$的三边为边向外作正方形,然后分别以三个正方形的中心为圆心,以正方形边长的一半为半径作圆,记三个圆的面积分别为$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,若$S_{1}+S_{2}= S_{3}$,则$\triangle ABC$为直角三角形。

答案： 直角 由题意，得S₁ = π($\frac{1}{2}$AC)² = $\frac{1}{4}$πAC²，S₂ = π($\frac{1}{2}$BC)² = $\frac{1}{4}$πBC²，S₃ = π($\frac{1}{2}$AB)² = $\frac{1}{4}$πAB²。因为S₁ + S₂ = S₃，即$\frac{1}{4}$πAC² + $\frac{1}{4}$πBC² = $\frac{1}{4}$πAB²，所以AC² + BC² = AB²，所以△ABC为直角三角形。

12 [2024江门蓬江区月考]如图所示的一块地,$AD= 12m$,$CD= 9m$,$∠ADC= 90^{\circ}$,$AB= 39m$,$BC= 36m$,这块地的面积为____。

答案：
216 m² 如图，连接AC。在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC² = CD² + AD² = 9² + 12² = 225，所以AC = 15m。在△ABC中，AB² = 1521，AC² + BC² = 15² + 36² = 1521，所以AB² = AC² + BC²，所以∠ACB = 90°，所以这块地的面积为S△ABC - S△ACD = $\frac{1}{2}$AC · BC - $\frac{1}{2}$AD · CD = $\frac{1}{2}$ × 15 × 36 - $\frac{1}{2}$ × 12 × 9 = 270 - 54 = 216(m²)。

名师点睛
一般情况下，求不规则图形的面积，通常可通过作辅助线将该图形转化为规则图形进行计算，如本题通过连接AC，将这块地的面积转化为两个直角三角形面积的差。

13 [2025郑州期中]如图,点D是$\triangle ABC$边BC的中点,过点D作$DE⊥BC$交AB于点E,$BD= 5$,$DE= \frac{15}{4}$,$AE= \frac{7}{4}$,$AC= 6$,$\triangle ABC$是直角三角形吗?请通过计算说明理由。

答案：
解：△ABC是直角三角形。理由如下：
如图，连接CE，
因为DE⊥BC，所以∠BDE = 90°，
在Rt△BDE中，BD = 5，DE = $\frac{15}{4}$，由勾股定理，得BE = $\frac{25}{4}$，
因为点D是△ABC边BC的中点，DE⊥BC，
所以DE是线段BC的垂直平分线，所以CE = BE = $\frac{25}{4}$，
因为CE² = ($\frac{25}{4}$)² = $\frac{625}{16}$，AE² = ($\frac{7}{4}$)² = $\frac{49}{16}$，AC² = 6² = 36，$\frac{625}{16}$ - $\frac{49}{16}$ = 36，所以CE² = AE² + AC²，所以∠A = 90°，
所以△ABC是直角三角形。

14 推理能力[2025成都锦江区月考]满足$a^{2}+b^{2}= c^{2}$的三个正整数,称为勾股数。
(1)请把下列三组勾股数补充完整:①6,8,10;②9,12,15;③9,40,41。
(2)小明发现,很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成$m^{2}+n^{2}$,$m^{2}-n^{2}$,如$4= 2×2×1$,$5= 2^{2}+1^{2}$,$3= 2^{2}-1^{2}$,请你帮小明说明这三个数2mn,$m^{2}+n^{2}$,$m^{2}-n^{2}$是勾股数组。
(3)如果28,96,100是满足上述小明发现的规律的勾股数组,那么$m+n= $7。

答案： 解：
(1)6 12 41
(2)(2mn)² = 4m²n²，(m² + n²)² = m⁴ + 2m²n² + n⁴，(m² - n²)² = m⁴ - 2m²n² + n⁴，
显然，m⁴ + 2m²n² + n⁴ = m⁴ - 2m²n² + n⁴ + 4m²n²，
即(m² + n²)² = (m² - n²)² + (2mn)²，
所以2mn，m² + n²，m² - n²是勾数组。
(3)7
28，96，100约去公因数4，得到7，24，25，其中24 = 2 × 3 × 4，因为25 = 4² + 3²，7 = 4² - 3²，所以m = 4，n = 3，所以m + n = 7。