《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

已知关于x的一次函数$y= (m-1)x+7-3m$。
【基础设问】
(1)当m满足什么条件时,它的图象经过原点?
(2)当m满足什么条件时,它的图象平行于直线$y= -x+8$?
(3)当m满足什么条件时,y随x的增大而减小?
(4)若$m= -\frac {1}{3}$,如图,一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A,B,M是OB上一点,若将$\triangle ABM$沿直线AM折叠,使点B恰好落在x轴上的点$B_{1}$处。
①求A,B两点的坐标及$\triangle AOB$的面积。
②一次函数的图象经过第一、二、四象限。
③点$(-3,4)$不在(填“在”或“不在”)该一次函数图象上。
④求直线AM的函数表达式。
【能力设问】
(5)在(4)条件下,若一次函数的图象平移后与x轴、y轴分别交于P,Q两点,且$BA= PA$,求点P的坐标和直线PQ的函数表达式。
【拓展设问】
(6)在(4)条件下,过$\triangle AOB的顶点能否画出直线把\triangle AOB$分成面积相等的两部分? 若能,可以画几条? 并求出满足条件的直线的函数表达式;若不能,请说明理由。

答案： 解：
(1)因为一次函数的图象经过原点，
所以 $7 - 3m = 0$，且 $m - 1 \neq 0$，所以 $m = \frac{7}{3}$。
(2)因为一次函数的图象平行于直线 $y = -x + 8$，
所以 $m - 1 = -1$，且 $7 - 3m \neq 8$，所以 $m = 0$。
(3)因为一次函数 $y = (m - 1)x + 7 - 3m$ 中，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，所以 $m - 1 ＜ 0$，所以 $m ＜ 1$。
(4)①当 $m = -\frac{1}{3}$ 时，一次函数的表达式为 $y = -\frac{4}{3}x + 8$。
令 $x = 0$，得 $y = -\frac{4}{3}x + 8 = 8$，所以点 $B$ 的坐标为 $(0, 8)$。
令 $y = -\frac{4}{3}x + 8 = 0$，解得 $x = 6$，所以点 $A$ 的坐标为 $(6, 0)$，
所以 $OB = 8$，$OA = 6$，所以 $\triangle ABO$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times OA \times OB = 24$。
②一、二、四
③不在
④由折叠和勾股定理得，$AB_1 = AB = 10$，
所以 $OB_1 = AB_1 - OA = 10 - 6 = 4$。
设 $MO = x$，则 $MB = MB_1 = 8 - x$。
在 $Rt\triangle OMB_1$ 中，$OM^2 + OB_1^2 = B_1M^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$，解得 $x = 3$，所以点 $M(0, 3)$。
设直线 $AM$ 的函数表达式为 $y = kx + b$，
把 $(0, 3)$ 代入，得 $b = 3$，
把 $(6, 0)$ 代入，得 $6k + 3 = 0$，所以 $k = -\frac{1}{2}$，
所以直线 $AM$ 的函数表达式为 $y = -\frac{1}{2}x + 3$。
(5)因为点 $A(6, 0)$，点 $B(0, 8)$，$AB = 10$，$BA = PA$，
所以点 $P$ 的坐标为 $(-4, 0)$ 或 $(16, 0)$。
由题意可设直线 $PQ$ 的函数表达式为 $y = -\frac{4}{3}x + c$，
当点 $P$ 的坐标为 $(-4, 0)$ 时，$0 = -\frac{4}{3} \times (-4) + c$，
解得 $c = -\frac{16}{3}$；
当点 $P$ 的坐标为 $(16, 0)$ 时，$0 = -\frac{4}{3} \times 16 + c$，
解得 $c = \frac{64}{3}$。
所以直线 $PQ$ 的函数表达式为 $y = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3}$ 或 $y = -\frac{4}{3}x + \frac{64}{3}$。
(6)能画出三条。
因为 $A(6, 0)$，$B(0, 8)$，$O(0, 0)$，设 $AB$ 的中点为 $D$，$OA$ 的中点为 $E$，$OB$ 的中点为 $F$，所以 $D(3, 4)$，$E(3, 0)$，$F(0, 4)$。
把 $\triangle AOB$ 分成面积相等的两部分的直线有以下三条：
$1^{\circ}$ 当所画直线过点 $O$，$D$ 时，
设直线 $OD$ 的函数表达式为 $y = k_1x$，
将 $D(3, 4)$ 的坐标代入，得 $4 = 3k_1$，解得 $k_1 = \frac{4}{3}$，
所以直线 $OD$ 的函数表达式为 $y = \frac{4}{3}x$。
$2^{\circ}$ 当所画直线过点 $B$，$E$ 时，
设直线 $BE$ 的函数表达式为 $y = px + 8$，
将 $E(3, 0)$ 的坐标代入，得 $0 = 3p + 8$，解得 $p = -\frac{8}{3}$，
所以直线 $BE$ 的函数表达式为 $y = -\frac{8}{3}x + 8$。
$3^{\circ}$ 当所画直线过点 $A$，$F$ 时，
设直线 $AF$ 的函数表达式为 $y = qx + 4$，
将 $A(6, 0)$ 的坐标代入，得 $0 = 6q + 4$，解得 $q = -\frac{2}{3}$，
所以直线 $AF$ 的函数表达式为 $y = -\frac{2}{3}x + 4$。