《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 以下各正方形的边长不是有理数的是(C)
A. 面积为25的正方形
B. 面积为$\frac {4}{25}$的正方形
C. 面积为8的正方形
D. 面积为1.44的正方形

答案： C

2 在直角三角形ABC中,$∠C= 90^{\circ }$,$∠A$,$∠B$,$∠C$的对边分别为a,b,c。
(1)计算：①当$a= 1$,$c= 2$时,$b^{2}=$3；
②当$a= 3$,$c= 5$时,$b^{2}=$16；
③当$a= 0.6$,$c= 1$时,$b^{2}=$0.64。
(2)通过(1)中计算出的$b^{2}$的值,可知b是整数的是②；b是分数的是③；b既不是整数,也不是分数的是①。(填序号)

答案：
(1)①3；②16；③0.64；
(2)② ③ ①

3 教材习题变式 如图,每个小正方形的边长均为1,A,B,C,D均为小正方形的顶点,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,试说明边AB,BC,CD,AD的长度和对角线AC,BD的长度中,哪些是有理数？哪些不是有理数？

解：由题图，知AC=7，BD=5，AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理，得AB²=3²+4²=25，BC²=3²+3²=18，CD²=3²+2²=13，AD²=4²+2²=20，因此AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数。
归纳总结
判断图形中线段的长度是不是有理数的方法
可将所求线段的长看成某一直角三角形的边长，由勾股定理求出这条线段长的平方。若找不到平方等于这条线段长的平方的有理数，则这条线段的长不是有理数。

答案： 解：由题图，知AC=7，BD=5，AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理，得AB²=3²+4²=25，BC²=3²+3²=18，CD²=3²+2²=13，AD²=4²+2²=20，因此AB，AC，BD的长度是有理数，BC，CD，AD的长度不是有理数。
归纳总结
判断图形中线段的长度是不是有理数的方法
可将所求线段的长看成某一直角三角形的边长，由勾股定理求出这条线段长的平方。若找不到平方等于这条线段长的平方的有理数，则这条线段的长不是有理数。

4 一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在(B)
A. 2与3之间
B. 3与4之间
C. 4与5之间
D. 5与6之间

答案： B

5 设边长为4的正方形的对角线长为x。
(1)x是有理数吗？说说你的理由。
(2)估计x在哪两个相邻整数之间？
(3)估计x的值(结果精确到十分位)。

答案： 解：
(1)x不是有理数。理由如下：
由勾股定理可知x²=4²+4²=32，因为没有一个整数或分数的平方等于32，所以x既不是整数，也不是分数，所以x不是有理数。
(2)估计x在5和6之间。
(3)估计x的值是5.7。

6 有一类数像一首读不完的长诗,既不循环,也不枯竭,无穷无尽,数学家称之为一种特殊的数。设面积为10π的圆的半径为x。
(1)x是有理数吗？说明理由。
(2)x的整数部分是多少？
(3)将x精确到十分位是多少？

圆周率$π=3.141592653...$
真是天长地久有时尽,
此“数”绵绵无绝期啊！

答案： 解：
(1)x不是有理数。理由如下：
由圆的面积公式可得πx²=10π，所以x²=10。
因为没有一个整数或分数的平方等于10，
所以x不是有理数。
(2)由
(1)知x²=10，
因为3²=9＜10，4²=16＞10，所以3＜x＜4，
所以x的整数部分是3。
(3)因为3.1²=9.61＜10，3.2²=10.24＞10，所以3.1＜x＜3.2，
又因为3.16²=9.9856＜10，3.17²=10.0489＞10，
所以3.16＜x＜3.17，
所以将x精确到十分位为3.2。
解题通法
运用“夹逼法”估算不是有理数的数的步骤
(1)估算其整数部分，看它在哪两个连续整数之间，较小整数即该数的整数部分；
(2)确定其十分位上的数，按同样方法寻找它在哪两个连续的数之间；
(3)按照上述方法依次确定它的百分位、千分位……直到精确数位。