《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

8 [2024揭阳期末]在$Rt\triangle ABC$中,$AB^{2}= 9,AC^{2}= 25$,则$BC^{2}=$(16或34)
A. 16
B. 4或34
C. 16或34
D. 4或24

答案： C 当∠B=90°时，BC²=AC²-AB²=25-9=16；当∠A=90°时，BC²=AB²+AC²=9+25=34。
归纳总结
已知直角三角形两边长求第三边长的策略
若题目中明确给出斜边长和一条直角边长(或给出两条直角边长)，则直接运用勾股定理求解；若题目中没有明确说明给出的边长是直角边长还是斜边长，则要运用分类讨论的思想，分情况进行求解，且要注意验证。

9 [2025梅州期末]小明将一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片$(AE＞DE)$剪去了一角,剩余部分如图所示,量得$AB= 3cm,CD= 4cm$,则剪去的直角三角形的斜边长为( )


A. 5cm
B. 12cm
C. 16cm
D. 20cm

答案：
D 如图，延长AB，DC相交于点F，则△BFC是直角三角形，根据勾股定理，得BC²=BF²+FC²=(15-3)²+(20-4)²=12²+16²=400，所以BC=20cm，故剪去的直角三角形的斜边长为20cm。

10 [教材习题变式][2025郑州枫杨外国语学校月考]如图,在$Rt\triangle ABC$中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为$S_{1},S_{2},S_{3}$。若$S_{3}+S_{2}-S_{1}= 18$。则图中阴影部分的面积为(B)
A. 6
B. $\frac{9}{2}$
C. 5
D. $\frac{7}{2}$
[变式][2025南宁三美学校月考]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载。勾股定理描述:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图中的方式放置在最大正方形内。则图中阴影部分的面积为(C)

A. $\frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{4}$
B. $b^{2}-a^{2}$
C. $a(a+b-c)$
D. $c^{2}-\frac{1}{2}ab$

答案： B 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC²+AB²=BC²，所以S₁+S₂=S₃，因为S₃+S₂-S₁=18，所以S₂=9，由题中图形可知，阴影部分的面积为$\frac{1}{2}S₂，$所以阴影部分的面积为$\frac{9}{2}。$
变式 C 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图中的方式放置在最大正方形内，则阴影部分面积=大正方形面积-两个小正方形面积+重叠部分面积。由勾股定理，得大正方形面积等于两个小正方形面积和，重叠部分为一个长方形，所以阴影部分面积与重叠部分面积相等，因为重叠部分的长为a，宽为a+b-c，所以阴影部分面积=重叠部分面积=a(a+b-c)。

11 [新趋势·数学文化][2025无锡期末]我国古代称直角三角形为“勾股形”。如图,数学家刘徽(约公元225年~公元295年)将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形。若$a= 10,b= 2$,则此勾股形的面积为( )


A. 28
B. 30
C. 32
D. 36

答案：
B 设阴影部分的直角三角形的未知直角边长为x，如图，则BC=x+b，AC=x+a，BA=a+b，由勾股定理，得(x+b)²+(a+b)²=(x+a)²。因为a=10，b=2，所以(x+2)²+(10+2)²=(x+10)²，所以x=3，所以BC=3+2=5，AB=10+2=12，所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}×12×5=30。$

12 [教材习题变式]如图,在$\triangle ABC$中,$BC= 13,AB= 14,AC= 15$,则$\triangle ABC$的面积为____。

答案：
84 如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°，所以AC²-AD²=BC²-BD²=CD²，所以15²-AD²=13²-(14-AD)²，所以AD=9，所以CD²=AC²-AD²=144，所以CD=12，所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}AB·CD= \frac{1}{2}×14×12=84。$

策略点拨
构造直角三角形法
当题目中没有直角三角形时，往往先通过作垂线(或作高线)构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长。需要注意的是构造直角三角形时，不能破坏已知条件中的特殊角和边。

13 [2024沈阳期末]如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,M是BC的中点,$MD⊥AB$于点D,若$AC= 2cm,AD= \frac{5}{2}cm$,则BD的长度为____cm。

答案：
$\frac{3}{2} $如图，连接AM，因为M是BC的中点，MD⊥AB，∠C=90°，所以AM²=AD²+DM²=AC²+CM²，CM²=BM²=BD²+DM²，所以AD²=AC²+BD²，因为AC=2cm，$AD= \frac{5}{2}cm，$所以$BD²=AD²-AC²= \frac{9}{4}，$所以$BD= \frac{3}{2}cm。$

14 [几何直观][2024汕头潮南区期中]已知:如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AB= 5,AC= 3$,动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位长度的速度移动,设运动的时间为t秒。
(1)$BC= $____,AB边上的高$h= $____;
(2)当$\triangle ABP$为直角三角形时,求t的值。

答案：
解：$(1)4 \frac{12}{5}$在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，所以BC=4，因为$S_{△ABC}= \frac{1}{2}AB·h= \frac{1}{2}AC·BC，$所以$h= \frac{AC·BC}{AB}= \frac{3×4}{5}= \frac{12}{5}。$
(2)由题意，得BP=t，在Rt△ABP中，∠B为锐角，当∠APB=90°时，BP=BC，此时t=4；当∠BAP=90°时，如图，则CP=t-4，在Rt△APC中，AP²=AC²+CP²=3²+(t-4)²，在Rt△ABP中，AP²+AB²=BP²，所以3²+(t-4)²+5²=t²，解得$t= \frac{25}{4}。$
综上所述，t的值为4或$\frac{25}{4}。$