《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

10 [2025上海南汇实验学校期中]下列说法中正确的有 (④)
①$y= kx$是正比例函数;
②如果$y= (a+3)x+a^{2}-9$是正比例函数,那么$a= \pm 3$;
③如果y与$x+2$成正比例,那么y是x的正比例函数;
④如果$y= \frac {1}{3}x^{2}$,那么y与$x^{2}$成正比例。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： D ①当 $ k \neq 0 $ 时，$ y = k x $ 是正比例函数，原说法错误，不符合题意；②如果 $ y = ( a + 3 ) x + a ^ { 2 } - 9 $ 是正比例函数，那么 $ a = 3 $，原说法错误，不符合题意；③如果 $ y $ 与 $ x + 2 $ 成正比例，那么 $ y = k ( x + 2 ) $ 不是 $ x $ 的正比例函数，原说法错误，不符合题意；④如果 $ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $，那么 $ y $ 与 $ x ^ { 2 } $ 成正比例，说法正确，符合题意。

11 [2025南京外国语学校月考]李大爷要围一个长方形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米。若要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD,设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是 ($ y = - \frac { 1 } { 2 } x + 12 $（$ 0 ＜ x ＜ 24 $）)

A.$y= -2x+24(0\lt x\lt 12)$
B.$y= -\frac {1}{2}x+12(0\lt x\lt 24)$
C.$y= 2x-24(0\lt x\lt 12)$
D.$y= \frac {1}{2}x-12(0\lt x\lt 24)$

答案： B 由题意得，$ 2 y + x = 24 $，所以 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x + 12 $（$ 0 ＜ x ＜ 24 $）。

12 [2024惠州期末]已知摄氏温度$x(^{\circ }C)与华氏温度y(^{\circ }F)$之间存在如下关系:

根据表中提供的信息,则y与x之间的函数关系式为$ y = 1.8 x + 32 $。

答案： $ y = 1.8 x + 32 $

13 新定义:$[a,b]为一次函数y= ax+b$(a,b为常数,$a≠0$)的“联盟数”。若“联盟数”为$[1,m-5]$的一次函数是正比例函数,则m的值为____5。

答案： 5 由题意知，“联盟数”为 $ [ 1 , m - 5 ] $ 的一次函数是 $ y = x + m - 5 $，因为“联盟数”为 $ [ 1 , m - 5 ] $ 的一次函数是正比例函数，所以 $ m - 5 = 0 $，所以 $ m = 5 $。

14 教材例题变式 [2025烟台期末]海水养殖是烟台经济产业的亮丽名片之一。某养殖场响应山东省加快新旧动能转换的号召,今年采用新技术投资养殖了300万笼扇贝,并且全部被订购,已知每笼扇贝的成本是40元,售价是100元,打捞出售过程中发现,一部分扇贝生长情况不符合要求,最后只能按照20元一笼出售,如果纯收入为y万元,不符合要求的扇贝有x万笼。
(1)求y关于x的关系式。
(2)当符合要求的扇贝有多少笼时,养殖场不赔不赚?

答案： 解：
(1)由题意，得 $ y = ( 100 - 40 ) ( 300 - x ) + ( 20 - 40 ) x = 60 ( 300 - x ) - 20 x = - 80 x + 18000 $，所以 $ y $ 关于 $ x $ 的关系式为 $ y = - 80 x + 18000 $。
(2)当养殖场不赔不赚时 $ y = 0 $，解方程 $ 0 = - 80 x + 18000 $，得 $ x = 225 $，所以 $ 300 - x = 300 - 225 = 75 $，所以当符合要求的扇贝有 75 万笼时，养殖场不赔不赚。

15 抽象能力 如图,已知长方形ABCD中,$AB= CD= 16,BC= DA= 24$,E为CD边的中点,P为长方形ABCD边上的动点,动点P以4个单位/秒的速度从点A出发,沿着$A→B→C→E$运动到点E停止。设点P运动的时间为t秒,$\triangle APE$的面积为y。
(1)当$t= 2$时,y的值是____;当$t= 6$时,y的值是____。
(2)直接写出在点P的运动过程中,y与t之间的函数关系式。

答案：
解：
(1)96 160
当 $ t = 2 $ 时，$ A P = 4 \times 2 = 8 $，所以 $ \triangle A P E $ 的面积 $ y = \frac { 1 } { 2 } \times 24 \times 8 = 96 $；
当 $ t = 6 $ 时，$ B P = 6 \times 4 - A B = 24 - 16 = 8 $，所以 $ P C = B C - B P = 24 - 8 = 16 $，所以 $ \triangle A P E $ 的面积 $ y = 24 \times 16 - \frac { 1 } { 2 } \times 16 \times 8 - \frac { 1 } { 2 } \times ( 40 - 4 t ) \times 8 - \frac { 1 } { 2 } \times 24 \times 8 = 160 $。
(2)$ y = \left\{ \begin{array} { l } { 48 t ( 0 ＜ t \leq 4 ) , } \\ { - 16 t + 256 ( 4 ＜ t \leq 10 ) , } \\ { - 48 t + 576 ( 10 ＜ t ＜ 12 ) 。 } \end{array} \right. $
①当 $ 0 ＜ t \leq 4 $ 时，点 $ P $ 在 $ A B $ 上（如图1），此时 $ A P = 4 t $，所以 $ \triangle A P E $ 的面积 $ y = \frac { 1 } { 2 } \times 4 t \times 24 = 48 t $；
②当 $ 4 ＜ t \leq 10 $ 时，点 $ P $ 在 $ B C $ 上（如图2），此时 $ B P = 4 t - 16 $，则 $ P C = 24 - ( 4 t - 16 ) = 40 - 4 t $，所以 $ \triangle A P E $ 的面积 $ y = 24 \times 16 - \frac { 1 } { 2 } \times 16 \times ( 4 t - 16 ) - \frac { 1 } { 2 } \times ( 40 - 4 t ) \times 8 - \frac { 1 } { 2 } \times 24 \times 8 = - 16 t + 256 $；
③当 $ 10 ＜ t ＜ 12 $ 时，点 $ P $ 在 $ C E $ 上（如图3），此时 $ P E = 48 - 4 t $，所以 $ \triangle A P E $ 的面积 $ y = \frac { 1 } { 2 } ( 48 - 4 t ) \times 24 = - 48 t + 576 $。
综上，$ y $ 与 $ t $ 之间的函数关系式为 $ y = \left\{ \begin{array} { l } { 48 t ( 0 ＜ t \leq 4 ) , } \\ { - 16 t + 256 ( 4 ＜ t \leq 10 ) , } \\ { - 48 t + 576 ( 10 ＜ t ＜ 12 ) 。 } \end{array} \right. $