《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

7 新情境[2024郑州桐柏一中期中]勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一,也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一。下列图形中可以证明勾股定理的有(D)

A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ①④

答案： 7 D 对于①，$ S_{梯形} = \frac{1}{2}(a + b)^{2} = \frac{1}{2}a^{2} + ab + \frac{1}{2}b^{2} $，$ S_{梯形} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^{2} = ab + \frac{1}{2}c^{2} $，所以 $ \frac{1}{2}a^{2} + ab + \frac{1}{2}b^{2} = ab + \frac{1}{2}c^{2} $，整理，得 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $，故①符合题意；对于④，$ S_{正方形} = (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} $，$ S_{正方形} = 4 \times \frac{1}{2}ab + c^{2} = 2ab + c^{2} $，所以 $ a^{2} + 2ab + b^{2} = 2ab + c^{2} $，所以 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $，故④符合题意；②③不符合题意。

8 新趋势·数学文化[2025泉州泉港区期末]如图,《九章算术》中记载:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺。问折者高几何?”译文:一根竹子,原高一丈,折断后其竹尖恰好着地,着地处离原竹子根部3尺远。问:原处还有多高的竹子?(1丈= 10尺)则竹子折断处离地面($\frac{91}{20}$尺)


A. $\frac{81}{20}$尺
B. $\frac{91}{20}$尺
C. $\frac{81}{19}$尺
D. $\frac{91}{19}$尺

答案： 8 B 设竹子折断处离地面 $ x $ 尺，则折断部分为 $ (10 - x) $ 尺，根据勾股定理，得 $ x^{2} + 3^{2} = (10 - x)^{2} $，解得 $ x = \frac{91}{20} $。
归纳总结
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
(1) 从实际问题中抽象出几何图形；
(2) 确定要求的线段所在的直角三角形；
(3) 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系，列出等式；
(4) 求得结果。

9 [2025宝鸡高新中学段考]勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠,是用代数思想解决几何问题最重要的工具,也是数形结合的纽带之一。如图,当秋千静止时,踏板B离地的垂直高度BE= 0.7m,将它往前推3m至C处时(即水平距离CD= 3m),踏板离地的垂直高度CF= 2.5m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是(3.4m)
A. 3.4m
B. 5m
C. 4m
D. 5.5m

答案： 9 A 由题意可知，$ CF = 2.5m $，$ BE = 0.7m $，所以 $ BD = 1.8m $。设 $ AC $ 的长为 $ x m $，则 $ AB = AC = x m $，所以 $ AD = AB - BD = (x - 1.8)m $。在 $ Rt \triangle ADC $ 中，$ AD^{2} + CD^{2} = AC^{2} $，即 $ (x - 1.8)^{2} + 3^{2} = x^{2} $，解得 $ x = 3.4 $，即绳索 $ AC $ 的长是 $ 3.4m $。

10 新趋势·数学文化[2025郑州育才中学月考]如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是一个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,若图1中的直角三角形的长直角边为5,大正方形的面积为29,连接图2中四条线段得到如图3的新图案,求图3中阴影部分的面积______。

答案：
10 21 如图，根据题意，得 $ BC = 5 $，$ AC^{2} = 29 $，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，$ AB = CD $，所以 $ AB = 2 $，所以 $ CD = 2 $，所以 $ S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2}CD \times AB = 2 $，所以阴影部分的面积为 $ 29 - 4 \times 2 = 21 $。

11 [2024沈阳辽中区期末改编]如图,一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上,顶端在点A处,底端在水平地面的点B处,保持梯子底端B的位置不变,将梯子斜靠在竖直的右墙上,此时梯子的顶端在点E处。已知顶端A距离地面的高度AC为2米,BC为1.5米。
(1)梯子的长为______2.5米;
(2)若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米,则胡同的宽CF为______2.2米。

答案： 11
(1) 2.5；
(2) 2.2
(1) 在 $ Rt \triangle ACB $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = 2 $ 米，$ BC = 1.5 $ 米，$ BC^{2} + AC^{2} = AB^{2} $，所以 $ AB^{2} = 2^{2} + 1.5^{2} = 6.25 $，所以 $ AB = 2.5 $ 米，即梯子的长为 $ 2.5 $ 米；
(2) 由题意得 $ EF = AC + 0.4 = 2.4 $ 米，$ BE = AB = 2.5 $ 米，所以 $ BF^{2} = 2.5^{2} - 2.4^{2} = 0.49 $，所以 $ BF = 0.7 $ 米，所以 $ CF = CB + BF = 1.5 + 0.7 = 2.2 $（米）。

12 教材习题变式 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明$a^{2}+b^{2}= c^{2}$。请你写出证明过程。

答案：
12 证明：如图，过点 $ A $ 作 $ AF \perp CD $ 于点 $ F $。因为 $ S_{五边形ABCDE} = S_{梯形ABCF} + S_{梯形AFDE} = S_{正方形ABGE} + 2S_{\triangle BCG} $，即 $ \frac{1}{2}(b + a + b) \times b + \frac{1}{2}(a + a + b) \times a = c^{2} + 2 \times \frac{1}{2}ab $，所以 $ \frac{1}{2}ab + b^{2} + a^{2} + \frac{1}{2}ab = c^{2} + ab $，所以 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $。

【回顾与思考】
你是如何获得勾股定理的?

答案： 【解析】：勾股定理的获得通常有以下几种常见方式。可以通过测量多个直角三角形的三条边的长度，然后计算各边长度的平方，经过大量数据的观察和分析，发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方这一规律。也可以利用拼图的方法，比如用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，通过大正方形面积的不同表示方法来推导得出勾股定理。还可以从实际生活中的一些现象和问题出发，经过抽象和数学化的过程来总结出勾股定理。
【答案】：可以通过测量直角三角形三边长度并计算平方关系、拼图推导、从实际生活现象抽象总结等方式获得勾股定理。