《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

8 [2024丹东期末]已知一次函数$y_1 = k_1x + b_1$和一次函数$y_2 = k_2x + b_2$的自变量$x$与因变量$y_1$,$y_2$的部分对应数值如表所示,则关于$x$,$y$的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} y = k_1x + b_1,\\ y = k_2x + b_2\end{array}\right. $的解为(C)

A. $\left\{\begin{array}{l} x = - 5,\\ y = - 2\end{array}\right. $
B. $\left\{\begin{array}{l} x = 4,\\ y = 5\end{array}\right. $
C. $\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = 3\end{array}\right. $
D. $\left\{\begin{array}{l} x = - 1,\\ y = - 3\end{array}\right. $

答案： C 由题中表格可知，当$x=2$时，$y_1=y_2=3$，所以一次函数$y_1=k_1x+b_1$和一次函数$y_2=k_2x+b_2$的图象的交点坐标为$(2,3)$，可得关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1,\\y=k_2x+b_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$。

9 [2024威海文登区期末]若以关于$x$,$y的二元一次方程x + 2y - b = 0的解为坐标的点都在直线y = - \frac{1}{2}x + b - 1$上,则$b = $(2)
A. $\frac{1}{2}$
B. $2$
C. $-1$
D. $1$

答案： B 将$y=-\frac{1}{2}x+b-1$等号两边都乘$2$，得$2y=-x+2b-2$，变形为$x+2y-2b+2=0$。因为以关于$x$，$y$的二元一次方程$x+2y-b=0$的解为坐标的点都在直线$y=-\frac{1}{2}x+b-1$上，所以$-b=-2b+2$，解得$b=2$。

10 教材习题变式[2025沈阳浑南区期末]已知一次函数$y = - \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}的图象与函数y = kx + b的图象相交于点P(2,n)$,则关于$x$,$y的方程组\left\{\begin{array}{l} 3x + 4y - 18 = 0,\\ kx - y + b = 0\end{array}\right. $的解是($\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$)
A. $\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = 2\end{array}\right. $
B. $\left\{\begin{array}{l} x = 2,\\ y = 3\end{array}\right. $
C. $\left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = 2\end{array}\right. $
D. $\left\{\begin{array}{l} x = 3,\\ y = 3\end{array}\right. $

答案： B 把$(2,n)$代入$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$，得$n=-\frac{3}{4}×2+\frac{9}{2}=3$，所以点$P$的坐标为$(2,3)$，因为一次函数$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$的图象与函数$y=kx+b$的图象相交于点$P(2,3)$，所以关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x+4y-18=0,\\kx-y+b=0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$。

B)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： B 因为关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=(3-k)x-2,\\y=(3k-5)x+5\end{cases}$无解，所以直线$y=(3-k)x-2$与直线$y=(3k-5)x+5$无交点，即两直线平行，所以$3-k=3k-5$，解得$k=2$，此时，一次函数为$y=2x-1$，其图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。

12 [2025沈阳期末]如图,直线$y = kx(k ≠ 0)与直线y = \frac{2}{3}x + 4在第二象限交于点A$,$y = \frac{2}{3}x + 4的图象交x$轴、$y轴分别于B$,$C$两点,$S_{\triangle ABO}:S_{\triangle ACO} = 1:2$,则方程组$\left\{\begin{array}{l} kx - y = 0,\\ 2x - 3y + 12 = 0\end{array}\right. $的解为$\begin{cases}x=-4,\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$。

答案： $\begin{cases}x=-4,\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$ 设点$A$的坐标为$(a,b)$，在$y=\frac{2}{3}x+4$中，当$x=0$时，$y=4$，则点$C$的坐标为$(0,4)$，当$y=0$时，$x=-6$，则点$B$的坐标为$(-6,0)$，因为$S_{\triangle ABO}:S_{\triangle ACO}=1:2$，所以$\frac{1}{2}×6b=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×(-a)$，所以$a=-3b$，则点$A$的坐标为$(-3b,b)$，将$(-3b,b)$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得$b=\frac{4}{3}$，则点$A$的坐标为$(-4,\frac{4}{3})$，所以方程$\begin{cases}kx-y=0,\\2x-3y+12=0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-4,\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$。

13 新考法[2024烟台期末]如图,已知一次函数$y = - \frac{1}{2}x + b的图象与y轴交于点A$,与$x轴交于点B$,与正比例函数$y = 2x的图象交于点C(1,a)$。
(1)求$a$,$b$的值。
(2)方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x - y = 0,\\ \frac{1}{2}x + y = b\end{array}\right. $的解为____。
(3)在$y = 2x的图象上是否存在点P$,使得$\triangle BOP的面积比\triangle AOP的面积大5$？若存在,请直接写出符合条件的点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
解：
(1)由题意知，点$C(1,a)$在$y=2x$的图象上，
所以$a=1×2=2$，所以点$C$的坐标为$(1,2)$，
因为点$C(1,2)$在$y=-\frac{1}{2}x+b$的图象上，
所以$2=-\frac{1}{2}+b$，解得$b=\frac{5}{2}$。
(2)$\begin{cases}x=1,\\y=2\end{cases}$
(3)存在。点$P$的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$或$(-\frac{4}{3},-\frac{8}{3})$。
由点$P$在$y=2x$的图象上，可设点$P$的坐标为$(m,2m)$，
由$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，得点$A$的坐标为$(0,\frac{5}{2})$，点$B$的坐标为$(5,0)$。
如图，过点$P$作$PM⊥x$轴于点$M$，$PN⊥y$轴于点$N$，
所以$\triangle BOP$的面积为$\frac{1}{2}×OB×PM=\frac{1}{2}×5×|2m|=5|m|$，
$\triangle AOP$的面积为$\frac{1}{2}×OA×PN=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×|m|=\frac{5}{4}|m|$，
因为$5|m|=\frac{5}{4}|m|+5$，所以$|m|=\frac{4}{3}$，所以$m=±\frac{4}{3}$，
所以点$P$的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$或$(-\frac{4}{3},-\frac{8}{3})$。