《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

3 [2025济南历城区月考]如图,已知直线$y= \frac {3}{4}x+6$与x轴、y轴分别相交于点A和点B,点C在线段AO上。将$\triangle ABO$沿BC折叠后,点O恰好落在AB边上点D处。
(1)求出A,B两点的坐标;
(2)求出OC的长;
(3)点E是坐标轴上一点,若$\triangle ABE$是直角三角形,求点E的坐标。

答案：
解：
(1)对于$y = \frac{3}{4}x + 6$，令$y = 0$，得$0 = \frac{3}{4}x + 6$，解得$x = -8$，令$x = 0$，得$y = 6$，所以$A(-8,0)$，$B(0,6)$。
(2)由折叠得，$DB = OB = 6$，$DC = OC$，$∠BDC = ∠BOC = 90^{\circ}$，
所以$∠ADC = 180^{\circ} - ∠BDC = 90^{\circ}$，$AC = 8 - OC$，
因为$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = 10$，所以$AD = 10 - 6 = 4$，
因为$CD^{2} + AD^{2} = AC^{2}$，
所以$OC^{2} + 4^{2} = (8 - OC)^{2}$，所以$OC = 3$。
(3)当$∠AEB = 90^{\circ}$时，点$E(0,0)$。
当$∠ABE = 90^{\circ}$时，如图1，
易知直线$BE$的表达式为$y = -\frac{4}{3}x + 6$，（由直线$y_{1} = k_{1}x + b_{1}(k_{1} ≠ 0)$与$y_{2} = k_{2}x + b_{2}(k_{2} ≠ 0)$互相垂直，易得$k_{1}k_{2} = -1$）
当$y = 0$时，$x = \frac{9}{2}$，所以点$E(\frac{9}{2},0)$；
当$∠BAE = 90^{\circ}$时，如图2，
设直线$AE$的表达式为$y = -\frac{4}{3}x + n$，
因为点$A(-8,0)$在直线$AE$上，所以$0 = -\frac{4}{3}×(-8) + n$，
所以$n = -\frac{32}{3}$，所以点$E(0,-\frac{32}{3})$。
综上所述，点$E$的坐标为$(0,0)$或$(\frac{9}{2},0)$或$(0,-\frac{32}{3})$。

4 [2024成都武侯区期末]如图,直线$l:y= ax+3$交x轴于点$A(6,0)$,将直线l向下平移4个单位,得到的直线分别交x轴,y轴于点B,C。
(1)求a的值及B,C两点的坐标;
(2)点M为线段AB上一点,连接CM并延长,交直线l于点N,若$\triangle AMN$是等腰三角形,求点M的坐标。

答案：
解：
(1)因为直线$l:y = ax + 3$交$x$轴于点$A(6,0)$，
所以$6a + 3 = 0$，解得$a = -\frac{1}{2}$，所以$y = -\frac{1}{2}x + 3$，
所以将直线$l$向下平移$4$个单位，得到直线$y = -\frac{1}{2}x + 3 - 4$，即直线$y = -\frac{1}{2}x - 1$，
令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}x - 1 = 0$，解得$x = -2$，
令$x = 0$，则$y = -1$，
所以$B(-2,0)$，$C(0,-1)$。
(2)如图1，若$MN = AN$，则$∠AMN = ∠MAN$。
因为$AN// BC$，所以$∠MAN = ∠MBC$。
因为$∠AMN = ∠BMC$，所以$∠MBC = ∠BMC$，所以$BC = CM$。
因为$CO⊥BM$，所以$OM = OB = 2$，所以$M(2,0)$。
如图2，若$AM = AN$，则$∠AMN = ∠ANM$。
因为$AN// BC$，所以$∠ANM = ∠BCM$。
因为$∠AMN = ∠BMC$，所以$∠BCM = ∠BMC$，所以$BC = BM$。
因为$B(-2,0)$，$C(0,-1)$，
所以$BC = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$，
所以$OM = \sqrt{5} - 2$，所以$M(\sqrt{5} - 2,0)$。
如图3，若$AM = MN$，则$∠MAN = ∠ANM$。
因为$AN// BC$，所以$∠MAN = ∠MBC$，$∠MCB = ∠ANM$，
所以$∠MBC = ∠MCB$，所以$CM = BM$，
所以$CM^{2} = BM^{2} = (OB - OM)^{2} = OM^{2} + OC^{2}$，即$(2 - OM)^{2} = OM^{2} + 1^{2}$，
所以$OM = \frac{3}{4}$，所以$M(-\frac{3}{4},0)$。
综上，点$M$的坐标为$(2,0)$，$(\sqrt{5} - 2,0)$或$(-\frac{3}{4},0)$。