《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

过全章 题串练透全章知识 答案P08
如图1,在$4×4$的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,A,B,C,E四点都在正方形网格的格点上。

【基础设问】
(1)试说明$∠ABC= 90^{\circ }$。
解：因为 $ AB^{2}=4^{2}+2^{2}=20 $，$ BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5 $，$ AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25 $，所以 $ AB^{2}+BC^{2}=AC^{2} $，所以 $ \triangle ABC $ 是直角三角形，所以 $ \angle ABC=90^{\circ} $。
(2)若点D为直线AC上任意一点,求线段BD长的最小值。
解：过点 $ B $ 作 $ BG \perp AC $ 于点 $ G $，则 $ BG $ 的长即线段 $ BD $ 长的最小值。因为 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ \frac{1}{2}AB \cdot BC=\frac{1}{2}AC \cdot BG $，所以 $ AB^{2} \cdot BC^{2}=AC^{2} \cdot BG^{2} $，即 $ 20 × 5=25BG^{2} $，所以 $ BG^{2}=4 $，所以 $ BG=2 $，所以线段 $ BD $ 长的最小值为2。
(3)求$∠CAE+∠ACE$的大小。
解：由题图网格可得，$ BC=BE $，由(1)知 $ \angle ABC=90^{\circ} $，所以 $ \triangle BCE $ 是等腰直角三角形，所以 $ \angle BEC=45^{\circ} $，所以 $ \angle AEC=135^{\circ} $，所以 $ \angle CAE+\angle ACE=180^{\circ}-\angle AEC=45^{\circ} $。故$∠CAE+∠ACE$的大小为45°。

答案： 解：
(1)因为 $ AB^{2}=4^{2}+2^{2}=20 $，$ BC^{2}=2^{2}+1^{2}=5 $，$ AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25 $，所以 $ AB^{2}+BC^{2}=AC^{2} $，所以 $ \triangle ABC $ 是直角三角形，所以 $ \angle ABC=90^{\circ} $。
(2)过点 $ B $ 作 $ BG \perp AC $ 于点 $ G $，则 $ BG $ 的长即线段 $ BD $ 长的最小值。因为 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ \frac{1}{2}AB \cdot BC=\frac{1}{2}AC \cdot BG $，所以 $ AB^{2} \cdot BC^{2}=AC^{2} \cdot BG^{2} $，即 $ 20 \times 5=25BG^{2} $，所以 $ BG^{2}=4 $，所以 $ BG=2 $，所以线段 $ BD $ 长的最小值为 $ 2 $。
(3)由题图网格可得，$ BC=BE $，由
(1)知 $ \angle ABC=90^{\circ} $，所以 $ \triangle BCE $ 是等腰直角三角形，所以 $ \angle BEC=45^{\circ} $，所以 $ \angle AEC=135^{\circ} $，所以 $ \angle CAE+\angle ACE=180^{\circ}-\angle AEC=45^{\circ} $。

【能力设问】
(4)如图2,在$3×3$的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,H,I,J,O四点都在正方形网格的格点上,求$∠HOI-∠IOJ$的大小。

答案：

(4)如图，找到点 $ J $ 关于 $ OI $ 的对称点 $ L $，连接 $ OL $，$ HL $，易得 $ \angle JOI=\angle LOI $，所以 $ \angle HOI-\angle IOJ=\angle HOI-\angle LOI=\angle HOL $

因为 $ HO^{2}=HL^{2}=1^{2}+2^{2}=5 $，$ OL^{2}=1^{2}+3^{2}=10 $，所以 $ HO^{2}+HL^{2}=OL^{2} $，所以 $ \triangle HOL $ 是等腰直角三角形，所以 $ \angle HOL=45^{\circ} $，所以 $ \angle HOI-\angle IOJ=45^{\circ} $。

(5)如图3,在边长为1的小正方形组成的网格中,M,N,Q,R四点都在网格的格点上,P为MN上任一点,求$PR^{2}-PQ^{2}$的值。

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答案：
(5)连接 $ QM $，$ MR $，因为 $ \triangle PMQ $ 与 $ \triangle PMR $ 都是直角三角形，所以 $ PQ^{2}=PM^{2}+MQ^{2} $，$ PR^{2}=PM^{2}+MR^{2} $，所以 $ PR^{2}-PQ^{2}=PM^{2}+MR^{2}-(PM^{2}+MQ^{2})=MR^{2}-MQ^{2} $。又因为 $ MQ=2 $，$ MR=4 $，所以 $ PR^{2}-PQ^{2}=4^{2}-2^{2}=12 $。