《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

8 [2025乌鲁木齐测评]“计”高一筹,“算”出风采。为提高学生的运算能力,某校开展以计算为主题的项目活动。已知甲班10名学生测试成绩的方差是$s_{甲}^{2}= 0.19$,乙班10名学生测试成绩的方差是$s_{乙}^{2}= m$,两班学生测试的平均分都是95分,结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出,则m的值可能是 (D)
A. 0.20
B. 0.22
C. 0.19
D. 0.18

答案： D 由题意可知,乙班的方差应小于甲班的方差,因为$s^{2}_{甲} = 0.19,s^{2}_{乙} = m$,所以$m ＜ 0.19$。

9 一题多解[2024德州中考]甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练,成绩(单位：环)如表所示：

则三名运动员中成绩最稳定的是 (A)
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 无法确定

答案： A 优解 因为甲的成绩在 9.6 和 9.7 之间波动,乙的成绩在 9.3 和 10 之间波动,丙的成绩在 9.5 和 10 之间波动,所以离差平方和$S_{甲} ＜ S_{丙} ＜ S_{乙}$,所以这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是甲。
通解 甲的成绩的平均数是$\frac {1}{5}×(9.7 + 9.7 + 9.6 + 9.7 + 9.7) = 9.68$(环),所以甲的成绩的方差$s^{2}_{甲} = \frac {1}{5}×[4×(9.7 - 9.68)^{2} + (9.6 - 9.68)^{2}] = 0.0016$。同理可得,乙的成绩的方差$s^{2}_{乙} = 0.0776$,丙的成绩的方差$s^{2}_{丙} = 0.0376$,所以$s^{2}_{甲} ＜ s^{2}_{丙} ＜ s^{2}_{乙}$,所以这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是甲。

10 [2025泸州期末]在对一组样本数据进行分析时,小华列出了方差的计算公式$s^{2}=$$\frac{(1-\overline{x})^{2}+(2-\overline{x})^{2}+(3-\overline{x})^{2}+(3-\overline{x})^{2}+(6-\overline{x})^{2}}{n},$则下列说法正确的是 (A)
A. 样本的平均数是3
B. 样本的离差平方和是3
C. 样本的众数是2
D. 样本的方差是2

答案： A 样本的平均数是$\frac {1 + 2 + 3 + 3 + 6}{5} = 3$,众数是 3,离差平方和是$(1 - 3)^{2} + (2 - 3)^{2} + (3 - 3)^{2} + (3 - 3)^{2} + (6 - 3)^{2} = 14$,方差是$\frac {14}{5}$。

11 [2025长春月考]小明计算出一组数据的方差为$s^{2}$,小丽将这组数据中每个数据都除以2,所得新数据的方差是 (C)
A. $\frac{1}{2}s^{2}$
B. $2s^{2}$
C. $\frac{1}{4}s^{2}$
D. $4s^{2}$

答案： C 设$x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$的平均数为$\overline {x}$,则方差$s^{2} = \frac {1}{n}[(x_{1} - \overline {x})^{2} + (x_{2} - \overline {x})^{2} + ... + (x_{n} - \overline {x})^{2}]$,由于小丽将这组数据中每个数据都除以2,所以$\frac {1}{n}[(\frac {1}{2}x_{1} - \frac {1}{2}\overline {x})^{2} + (\frac {1}{2}x_{2} - \frac {1}{2}\overline {x})^{2} + ... + (\frac {1}{2}x_{n} - \frac {1}{2}\overline {x})^{2}] = \frac {1}{4n}[(x_{1} - \overline {x})^{2} + (x_{2} - \overline {x})^{2} + ... + (x_{n} - \overline {x})^{2}] = \frac {1}{4}s^{2}$。
易错提醒
本题的易错之处是对方差的概念没有深刻理解,误认为只要把原数据的方差也除以2就可以得到新数据的方差。事实上,样本中各数据与样本平均数之差的平方的平均数才叫方差。

变式[2025漯河期末]已知一组数据$x_{1}$,$x_{2}$,$x_{3}$,$x_{4}$,$x_{5}$的平均数是2,方差是2,那么另一组数据$2x_{1}-1$,$2x_{2}-1$,$2x_{3}-1$,$2x_{4}-1$,$2x_{5}-1$的平均数和方差分别为 (C)
A. 4,4
B. 3,3
C. 3,8
D. 3,4

答案： C 由题意,知$x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 10,(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 2)^{2} + (x_{3} - 2)^{2} + (x_{4} - 2)^{2} + (x_{5} - 2)^{2} = 10$,所以新数据的平均数为$\frac {1}{5}×(2x_{1} - 1 + 2x_{2} - 1 + 2x_{3} - 1 + 2x_{4} - 1 + 2x_{5} - 1) = \frac {1}{5}[2(x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5}) - 5] = \frac {1}{5}×15 = 3$,新数据的方差为$\frac {1}{5}×[(2x_{1} - 1 - 3)^{2} + (2x_{2} - 1 - 3)^{2} + (2x_{3} - 1 - 3)^{2} + (2x_{4} - 1 - 3)^{2} + (2x_{5} - 1 - 3)^{2}] = \frac {1}{5}×[4(x_{1} - 2)^{2} + 4(x_{2} - 2)^{2} + 4(x_{3} - 2)^{2} + 4(x_{4} - 2)^{2} + 4(x_{5} - 2)^{2}] = \frac {4}{5}×[(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 2)^{2} + (x_{3} - 2)^{2} + (x_{4} - 2)^{2} + (x_{5} - 2)^{2}] = \frac {4}{5}×10 = 8$。

12 教材思考·交流变式[2025南京期末]体育课进行小组跳绳比赛,在规定时间内两个小组的跳绳成绩(单位：次)记录如表所示：

(1)根据所给数据填写表格。
甲组平均数：92，甲组方差：$\frac {119}{3}$，乙组6号成绩：93，乙组方差：$\frac {25}{3}$
(2)请分别解释甲组中两个“92”的实际意义。
第一个92表示：甲组2号同学在规定时间内跳绳的次数为92
第二个92表示：甲组6位同学在规定时间内跳绳的平均次数为92
(3)如果乙组中再增加一名学生,且他在规定时间内的跳绳次数为93,小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变。你认为小明的说法对吗？请说出你的理由。
小明的说法不对。理由如下：因为乙组的平均数为93次，所以乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93，平均数不会变化，增加一名学生后的方差$s^{2}_{乙} = \frac {1}{7}[(95 - 93)^{2} + (96 - 93)^{2} + (87 - 93)^{2} + (93 - 93)^{2}×3 + (94 - 93)^{2}] = \frac {50}{7} ≠ \frac {25}{3}$，所以方差会发生改变

答案： 解:
(1)填表如下:
|组别|1号|2号|3号|4号|5号|6号|平均数|方差|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|甲|96|92|88|94|101|81|92|$\frac {119}{3}$|
|乙|95|96|87|93|94|93|93|$\frac {25}{3}$|
$s^{2}_{甲} = \frac {1}{6}[(96 - 92)^{2} + (92 - 92)^{2} + (88 - 92)^{2} + (94 - 92)^{2} + (101 - 92)^{2} + (81 - 92)^{2}] = \frac {119}{3}$,乙组6号的成绩为$6×93 - (95 + 96 + 87 + 93 + 94) = 93$(次)。
(2)第一个92表示:甲组2号同学在规定时间内跳绳的次数为92。
第二个92表示:甲组6位同学在规定时间内跳绳的平均次数为92。
(3)小明的说法不对。理由如下:
因为乙组的平均数为93次,所以乙组中再增加一名学生,且他在规定时间内的跳绳次数为93,平均数不会变化,增加一名学生后的方差$s^{2}_{乙} = \frac {1}{7}[(95 - 93)^{2} + (96 - 93)^{2} + (87 - 93)^{2} + (93 - 93)^{2}×3 + (94 - 93)^{2}] = \frac {50}{7} ≠ \frac {119}{3}$,所以方差会发生改变。