《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

11 [2024南通崇川区月考]如果$y= (m-2)x+m^{2}-4$是y关于x的正比例函数,点$A(m,a)和点B(-m,b)$在该函数的图象上,那么a和b的大小关系是 (B)
A.$a\lt b$
B.$a＞b$
C.$a≤b$
D.$a≥b$

答案： B 因为$y=(m-2)x+m^{2}-4$是$y$关于$x$的正比例函数，所以$m-2≠0$且$m^{2}-4=0$，所以$m=-2$，所以正比例函数的表达式为$y=-4x$。因为$k=-4＜0$，所以$y$随$x$的增大而减小，又因为点$A(m,a)$和点$B(-m,b)$在该函数的图象上，且$m＜-m$，所以$a＞b$。

12 跨学科·物理 一题多解[2025西安秦汉中学模拟]如图表示光从空气进入水中前与进入水中后的光路图,若建立如图所示的平面直角坐标系,并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为$y_{1}= k_{1}x,y_{2}= k_{2}x$,则关于$k_{1}与k_{2}$的关系,正确的是 (C)

A.$k_{1}＞0,k_{2}＜0$
B.$k_{1}＞0,k_{2}＞0$
C.$|k_{1}|＜|k_{2}|$
D.$|k_{1}|＞|k_{2}|$

答案： C 通解 在两个图象上分别取横坐标为1的两个点$A$和$B$，则$A(1,k_{1})$，$B(1,k_{2})$，结合题中图象可得$k_{1}＞k_{2}$，因为$k_{1}＜0$，$k_{2}＜0$，所以$|k_{1}|＜|k_{2}|$。
优解 由题中图象可知，$k_{1}＜0$，$k_{2}＜0$，根据直线越陡，$|k|$越大，可得$|k_{1}|＜|k_{2}|$。

13 定义运算:$a*b= \left\{\begin{array}{l} ab(b＞0),\\ -ab(b≤0)\end{array}\right. $如:$1*(-2)= -1×(-2)= 2$。则函数$y= 2*x$的图象大致是 (C)

答案： C 根据定义运算，得$y=2*x=\left\{\begin{array}{l} 2x(x＞0),\\ -2x(x≤0),\end{array}\right. $当$x＞0$时，$y=2*x$的图象是直线$y=2x$在$y$轴右侧的部分；当$x≤0$时，$y=2*x$的图象是直线$y=-2x$在$y$轴左侧的部分且包含原点。

14 [2025合肥五十中期中]已知正比例函数$y= kx$,当$-4≤x≤4$时,函数有最大值3,则k的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$。

答案： $\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$ 当$k＞0$时，函数$y$随$x$的增大而增大，所以当$x=4$时，$y=3$，所以$4k=3$，解得$k=\frac{3}{4}$；当$k＜0$时，函数$y$随$x$的增大而减小，所以当$x=-4$时，$y=3$，所以$-4k=3$，解得$k=-\frac{3}{4}$，所以$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$。

15 一题多解如图,过点$A(2,0)$作x轴的垂线,与正比例函数$y= x和y= 3x$的图象分别相交于点B,C,则$\triangle OCB$的面积为4。

答案： 4 通解 把$x=2$分别代入$y=x$和$y=3x$，可得点$B$的坐标是$(2,2)$，点$C$的坐标是$(2,6)$，所以$BC=6-2=4$。因为点$A$的坐标是$(2,0)$，所以$OA=2$，所以$S_{\triangle OCB}=\frac{1}{2}BC\cdot OA=\frac{1}{2}×4×2=4$。
另解 同解法一，求出$B(2,2)$，$C(2,6)$，则$S_{\triangle OCB}=S_{\triangle OAC}-S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}×2×6-\frac{1}{2}×2×2=4$。

16 [2024济南期中]如图,在平面直角坐标系中,函数$y_{1}= 2x和y_{2}= -x的图象分别为直线l_{1},l_{2}$,过点$(1,0)$作x轴的垂线交$l_{1}于点A_{1}$,过点$A_{1}$作y轴的垂线交$l_{2}于点A_{2}$,过点$A_{2}$作x轴的垂线交$l_{1}于点A_{3}$,过点$A_{3}$作y轴的垂线交$l_{2}于点A_{4}$……依次进行下去,则点$A_{9}$的坐标为$(16,32)$,点$A_{2025}$的坐标为$(2^{1012},2^{1013})$。

答案： $(16,32)$ $(2^{1012},2^{1013})$ 当$x=1$时，$y_{1}=2$，所以点$A_{1}$的坐标为$(1,2)$；当$y_{2}=2$时，$x=-2$，所以点$A_{2}$的坐标为$(-2,2)$。同理可得，$A_{3}(-2,-4)$，$A_{4}(4,-4)$，$A_{5}(4,8)$，$A_{6}(-8,8)$，$A_{7}(-8,-16)$，$A_{8}(16,-16)$，$A_{9}(16,32)$，…，所以$A_{4n+1}(2^{2n},2^{2n+1})$，$A_{4n+2}(-2^{2n+1},2^{2n+1})$，$A_{4n+3}(-2^{2n+1},-2^{2n+2})$，$A_{4n+4}(2^{2n+2},-2^{2n+2})$，其中$n$为自然数。因为$2025=506×4+1$，所以点$A_{2025}$的坐标为$(2^{506×2},2^{506×2+1})$，即$(2^{1012},2^{1013})$。

17 [2025上海静安区期中]已知正比例函数$y= kx$的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作$AH⊥x$轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且$\triangle AOH$的面积为3(O为坐标原点)。
(1)求正比例函数的表达式。
(2)在x轴上是否存在一点P,使$\triangle AOP$的面积为5? 若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)在(2)的条件下,在正比例函数$y= kx$的图象上是否存在一点M,使得$S_{\triangle APM}= \frac {2}{3}S_{\triangle OPM}$?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。

答案：
解：（1）因为点$A$的横坐标为3，且$\triangle AOH$的面积为3，
所以$\frac{1}{2}×3×AH=3$，解得$AH=2$，
所以点$A$的坐标为$(3,-2)$，
因为正比例函数$y=kx$的图象经过点$A$，
所以$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$，
所以正比例函数的表达式是$y=-\frac{2}{3}x$。
（2）存在。
设$P(t,0)$，因为$\triangle AOP$的面积为5，点$A$的坐标为$(3,-2)$，
所以$\frac{1}{2}×|t|×2=5$，所以$t=5$或$t=-5$，
所以点$P$的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
（3）存在。
设$M(x,-\frac{2}{3}x)$，
①若点$M$在线段$OA$上，如图1，当$P$的坐标为$(5,0)$时，$OP=5$，
因为$A(3,-2)$，$S_{\triangle APM}=\frac{2}{3}S_{\triangle OPM}$，
所以$\frac{1}{2}×OP×|y_{A}|-\frac{1}{2}×OP×|y_{M}|=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×OP×|y_{M}|$，
所以$\frac{1}{2}×5×2-\frac{1}{2}×5×\frac{2}{3}x=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×5×\frac{2}{3}x$，解得$x=\frac{9}{5}$，
所以$-\frac{2}{3}x=-\frac{2}{3}×\frac{9}{5}=-\frac{6}{5}$，所以点$M$的坐标为$(\frac{9}{5},-\frac{6}{5})$。
当点$P$的坐标为$(-5,0)$时，$OP=5$，同理可得点$M$的坐标为$(\frac{9}{5},-\frac{6}{5})$。
②若点$M$在线段$OA$的延长线上，如图2，当$P$的坐标为$(5,0)$时，$OP=5$，
因为$A(3,-2)$，$S_{\triangle APM}=\frac{2}{3}S_{\triangle OPM}$，
所以$\frac{1}{2}×OP×|y_{M}|-\frac{1}{2}×OP×|y_{A}|=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×OP×|y_{M}|$，
所以$\frac{1}{2}×5×\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}×5×2=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×5×\frac{2}{3}x$，解得$x=9$，
所以$-\frac{2}{3}x=-\frac{2}{3}×9=-6$，所以点$M$的坐标为$(9,-6)$。
当点$P$的坐标为$(-5,0)$时，$OP=5$，同理可得点$M$的坐标为$(9,-6)$。
综上，点$M$的坐标为$(\frac{9}{5},-\frac{6}{5})$或$(9,-6)$。