《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 在分组时要求“组内离差平方和最小”,其目的是 (B)
A. 使每组数据量相等
B. 使每组组内数据差异尽可能小,组间数据差异尽可能大
C. 减少计算复杂度
D. 保证组间均值相等

答案： B 组内离差平方和反映组内数据波动程度，最小化该值可使每组组内数据差距不大，同时组间数据差异明显。

2 [2024 云南中考]甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛,每人 10 次射击成绩的平均数$\overline {x}$(单位:环)和方差$s^{2}$如表所示:

根据表中数据,从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择 (A)
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

答案： A 由题中表格可知，甲、乙的平均数较大，甲、丙的方差较小，所以应该选择甲参加比赛。

3 [2024 杭州建兰中学期中]体育委员小聪要帮体育老师分析本班的跳远成绩,将各统计量计算好后却发现由于场地布置失误,导致每位同学的成绩都少记录了 3 cm,则实际成绩与记录成绩相比,方差 (A)
A. 不变
B. 变大
C. 变小
D. 不能确定

答案： A
归纳总结
设 n 个数据 $ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 的平均数为 a，方差为 b，则数据 $ x_1 + m, x_2 + m, \cdots, x_n + m $ 的平均数为 $ a + m $，方差为 b。

4 新考法 [2025 新乡一模]社会主义本质是解放生产力,发展生产力,消灭剥削,消除两极分化,最终达到共同富裕。下列有关居民收入的统计量中,最能体现发展生产力,消除两极分化的是 (D)
A. 收入平均数变小,方差变大
B. 收入平均数变小,方差变小
C. 收入平均数变大,方差变大
D. 收入平均数变大,方差变小

答案： D

5 教材例题变式 某小组 8 名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为 88,98,87,92,92,90,91,96。老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布。若按照以下分组方式:第一组$\{ 87,88,90,91,92,92\}$,第二组$\{ 96,98\}$。则组内离差平方和为24。

答案： 24 第一组有 6 个数据 $ \{87, 88, 90, 91, 92, 92\} $，这 6 个数据的平均数是 90，故第一组数据的组内离差平方和 $ S_1 = (87 - 90)^2 + (88 - 90)^2 + (90 - 90)^2 + (91 - 90)^2 + (92 - 90)^2 + (92 - 90)^2 = 22 $；第二组有 2 个数据 $ \{96, 98\} $，这 2 个数据的平均数是 97，故第二组数据的组内离差平方和 $ S_2 = (96 - 97)^2 + (98 - 97)^2 = 2 $。所以这种分组情况的组内离差平方和 $ S = S_1 + S_2 = 22 + 2 = 24 $。

6 甲、乙两名同学参加学校组织的 100 米短跑集训,教练把 10 天的训练成绩用折线图(如图)进行了统计。

(1)请你用折线图所提供的信息完成下表:

(2)学校欲从两人中选出一人参加市中学生运动会 100 米比赛,请你帮助学校做出选择,并简述你的理由。如果学校要求成绩稳定，应选乙，因为甲和乙平均成绩相同，乙的方差小于甲的方差，所以在平均成绩相同的情况下乙的成绩比甲的成绩稳定；如果学校想夺冠，应选甲，因为 10 天中甲的成绩在 15 秒以下的天数比乙多，所以夺冠的可能性大。(答案不唯一，合理即可)

答案： 解：
(1) 填表如下：
| | 平均数 | 方差 | 10 天中成绩在 15 秒以下的天数 |
| --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 15 | 2.6 | 5 |
| 乙 | | | |
$ \overline{x}_乙 = \frac{1}{10} \times (17 + 16 + 15 + 15 + 14 + 15 + 14 + 14 + 15 + 15) = 15 $，$ s^2_乙 = \frac{1}{10} \times [(17 - 15)^2 + (16 - 15)^2 + 5 \times (15 - 15)^2 + 3 \times (14 - 15)^2] = 0.8 $，由题图易知乙 10 天中成绩在 15 秒以下的有 3 天。
(2) 如果学校要求成绩稳定，应选乙，因为 $ \overline{x}_甲 = \overline{x}_乙 $，$ s^2_甲 ＞ s^2_乙 $，所以在平均成绩相同的情况下乙的成绩比甲的成绩稳定；
如果学校想夺冠，应选甲，因为 10 天中甲的成绩在 15 秒以下的天数比乙多，所以夺冠的可能性大。(答案不唯一，合理即可)