《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

5 一题多解比较$\frac {\sqrt {3}+1}{\sqrt {3}+2}与\frac {\sqrt {3}+2}{\sqrt {3}+3}$的大小。

答案： 解：通解(作商法)$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}\div\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}\times\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}=\frac{6+4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}＜1$，所以$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}＜\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}$。
另解一(倒数法)$\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{3}+1}$，$\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{3}+2}$，
而$\frac{1}{\sqrt{3}+1}＞\frac{1}{\sqrt{3}+2}$，所以$\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}＞\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}+2}$，
所以$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}＜\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}$。
另解二(作差法)$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}-\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+3)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+3)}-\frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}+2)}=\frac{6+4\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+3)}-\frac{7+4\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+3)}=-\frac{1}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+3)}＜0$，
所以$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+2}＜\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+3}$。

6 (1)比较$-\sqrt {5}+1与-\frac {\sqrt {2}}{2}$的大小；
(2)比较$\sqrt {65}-2与\sqrt {10}+2$的大小；
(3)比较$\sqrt [3]{29}与\sqrt {7}$的大小；
(4)比较$\frac {\sqrt {13}-3}{8}与\frac {\sqrt {3}}{8}$的大小。

答案： 解：
(1)因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，
所以$-2＜-\sqrt{5}+1＜-1$。
因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，
所以$-1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}＜-\frac{1}{2}$，
所以$-\sqrt{5}+1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)因为$8＜\sqrt{65}＜9$，$3＜\sqrt{10}＜4$，
所以$6＜\sqrt{65}-2＜7$，$5＜\sqrt{10}+2＜6$，
所以$\sqrt{65}-2＞\sqrt{10}+2$。
(3)因为$3＜\sqrt[3]{29}＜4$，$2＜\sqrt{7}＜3$，
所以$\sqrt[3]{29}＞\sqrt{7}$。
(4)因为$3＜\sqrt{13}＜4$，所以$0＜\sqrt{13}-3＜1$，
所以$0＜\frac{\sqrt{13}-3}{8}＜\frac{1}{8}$。
因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$\frac{1}{8}＜\frac{\sqrt{3}}{8}＜\frac{1}{4}$，
所以$\frac{\sqrt{13}-3}{8}＜\frac{\sqrt{3}}{8}$。

7 已知$0\lt x＜1$,则$x,\frac {1}{x},x^{2},\sqrt {x}$的大小关系为(C)
A.$x＜\frac {1}{x}\lt x^{2}＜\sqrt {x}$
B.$x\lt x^{2}＜\sqrt {x}＜\frac {1}{x}$
C.$x^{2}\lt x＜\sqrt {x}＜\frac {1}{x}$
D.$\sqrt {x}\lt x\lt x^{2}＜\frac {1}{x}$

答案： C 本题直接比较大小比较困难，可以采用特殊值法求
解，取$x=\frac{1}{4}$，则$\frac{1}{x}=4$，$x^{2}=\frac{1}{16}$，$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$。因为$\frac{1}{16}＜\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜4$，所以$x^{2}＜x＜\sqrt{x}＜\frac{1}{x}$。

8 一题多解比较$\sqrt {6}-\sqrt {5}与\sqrt {7}-\sqrt {6}$的大小。

答案： 解：通解(倒数法)$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$，$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\sqrt{7}+\sqrt{6}$，
因为$\sqrt{6}+\sqrt{5}＜\sqrt{7}+\sqrt{6}$，即$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$，
所以$\sqrt{6}-\sqrt{5}＞\sqrt{7}-\sqrt{6}$。
另解(作差法)$\sqrt{6}-\sqrt{5}-(\sqrt{7}-\sqrt{6})=2\sqrt{6}-\sqrt{5}-\sqrt{7}=2\sqrt{6}-(\sqrt{5}+\sqrt{7})$，
因为$(2\sqrt{6})^{2}=24$，$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^{2}=12+2\sqrt{35}$，
$24-(12+2\sqrt{35})=12-2\sqrt{35}=2(6-\sqrt{35})＞0$，
所以$2\sqrt{6}＞\sqrt{5}+\sqrt{7}$，所以$\sqrt{6}-\sqrt{5}＞\sqrt{7}-\sqrt{6}$。