《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 [2024泸州中考]下列各数中,无理数是(D)
A. $-\frac{1}{3}$
B. 3.14
C. 0
D. $\pi$

答案： D $-\frac{1}{3}$是分数，3.14 是有限小数，0 是整数，它们都不是无理数；π 是无限不循环小数，它是无理数。
归纳总结
常见的无理数的类型
(1)无限不循环小数；
(2)含 π 的数；
(3)人为构造的有特定结构，但不循环的小数。

2 [2025北京五十四中期末]给出下列各数:$-8,2.7,-3\frac{1}{2},\frac{\pi}{3},0.66666…,0.2,0.080080008…$。其中无理数的个数为(C)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C $\frac{\pi}{3}$，0.080 080 008…是无理数。
归纳总结
有理数和无理数的区别
(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；
(2)有理数可以化为分数，无理数不能化为分数。

3 新趋势·结论开放[2025盐城期中]请你写出一个无理数a,使得$0 ＜ a ＜ 1$,则a为$\frac{\pi}{4}$。(写出一个即可)

答案： (答案不唯一)$\frac{\pi}{4}$

4 [2024承德期中]下列说法中,正确的是(C)
A. 无理数包括正无理数、零和负无理数
B. 无限小数都是无理数
C. 正实数包括正有理数和正无理数
D. 实数可以分为正实数和负实数两类

答案： C 无理数包括正无理数和负无理数，故 A 项错误；无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故 B 项错误；实数可分为正实数、零和负实数三类，故 D 项错误。

5 教材习题变式 把下列实数分别填入相应的集合里:$-|-5|,|-\frac{3}{2}|,0,-3.14,\frac{22}{7},1.99,-(-6),2\pi,-12.101001…$(每两个1之间0的个数依次增加1)。
(1)负数集合:…$\{\}$。
(2)非负整数集合:…$\{\}$。
(3)分数集合:…$\{\}$。
(4)无理数集合:…$\{\}$。

答案： 解：$-|-5|=-5$，$|-\frac{3}{2}|=\frac{3}{2}$，$-(-6)=6$。
(1)负数集合：$\{-|-5|,-3.14,-12.101 001…$(每两个 1 之间 0 的个数依次增加 1)$\cdots\}$。
(2)非负整数集合：$\{0,-(-6)\cdots\}$。
(3)分数集合：$\{|-\frac{3}{2}|,-3.14,\frac{22}{7},1.99\cdots\}$。
(4)无理数集合：$\{2\pi,-12.101 001…$(每两个 1 之间 0 的个数依次增加 1)$\cdots\}$。

6 [2025茂名电白区一模]π的绝对值是(A)
A. $\pi$
B. $-\pi$
C. $\pm \pi$
D. $\frac{1}{\pi}$

答案： A

7 [2024邵阳期中]已知$ab = 1$,若$a = 2024$,则b的相反数是($-\frac{1}{2024}$)
A. -2024
B. $-\frac{1}{2024}$
C. $\frac{1}{2024}$
D. 2024

答案： B 因为$ab = 1$，$a = 2024$，所以$b=\frac{1}{2024}$，所以 b 的相反数是$-\frac{1}{2024}$。

8 [2025宝鸡期中]已知实数a,b,c,d,e,且a,b互为倒数,c,d互为相反数,e的绝对值为2,求$\frac{1}{2}× ab+\frac{c + d}{5}-e$的值。

答案： 解：由题意，得$ab = 1$，$c + d = 0$，$e=\pm2$。
分两种情况：
当$e = 2$时，$\frac{1}{2}\times ab+\frac{c + d}{5}-e=\frac{1}{2}\times1+\frac{0}{5}-2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$。
当$e = -2$时，$\frac{1}{2}\times ab+\frac{c + d}{5}-e=\frac{1}{2}\times1+\frac{0}{5}+2=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
综上所述，$\frac{1}{2}\times ab+\frac{c + d}{5}-e$的值为$-\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$。

9 [2025哈尔滨期末]与数轴上的点具有一一对应关系的数是(A)
A. 实数
B. 有理数
C. 无理数
D. 整数

答案： A
归纳总结
实数和数轴上的点“一一对应”的两层含义
实数和数轴上的点是一一对应的。“一一对应”包含两层含义：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。

10 一题多解[2023新乡期末]实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,若实数b满足$-a ＜ b ＜ a$,则b的值可以是(B)

A. 2
B. -1
C. -2
D. -3

答案： B 通解 因为$-a ＜ b ＜ a$，所以$|b| ＜ a$，又因为$1 ＜ a ＜ 2$，所以 b 可以是 -1。
另解 因为$|a| ＜ 2$，$-a ＜ b ＜ a$，所以实数 b 对应的点到原点的距离一定小于 2。

11 [2024北京中考]实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是(C)

A. $b ＞ -1$
B. $|b| ＞ 2$
C. $a + b ＞ 0$
D. $ab ＞ 0$

答案： C 由题中数轴可知，$-2 ＜ b ＜ -1$，$2 ＜ a ＜ 3$，所以$|b| ＜ 2$，$a + b ＞ 0$，$ab ＜ 0$。

12 [2025石家庄五十四中期中]如图,半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示-1的点重合,若将该圆沿数轴向右滚动一周,圆上的点A恰好与数轴上的点B重合,则点B对应的实数为(2π - 1)

A. $\pi - 1$
B. $\pi + 1$
C. $2\pi - 1$
D. $2\pi + 1$

答案： C 因为半径为 1 个单位长度的圆从表示 -1 的点沿数轴向右滚动一周，所以 AB 之间的距离为圆的周长，即$2\pi$，点 B 在数轴上表示 -1 的点的右侧，所以点 B 对应的数是$2\pi - 1$。

有理数和无理数有什么区别?

答案： 【解析】：有理数和无理数存在多方面的区别。从定义上看，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，也就是可以表示为两个整数之比的数；而无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。从小数形式上，有理数包括有限小数和无限循环小数，有限小数可以很直观地看出其数值，无限循环小数有循环节，例如0.333… （3循环）；无理数是无限不循环的，没有循环规律，像圆周率π约等于3.1415926… ，它的小数位是无限且不循环的。从性质上，有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）运算后结果还是有理数；而无理数与有理数进行四则运算时，结果可能是无理数也可能是有理数，例如π + 1还是无理数，而$\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$是有理数。从集合角度，有理数集是可数集，意味着可以与自然数集建立一一对应关系；无理数集是不可数集，其元素数量比有理数集多得多。
【答案】：1.定义：有理数是整数和分数的统称，能表示为两个整数之比；无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。2.小数形式：有理数是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。3.运算性质：有理数进行四则运算（除数不为0）结果是有理数；无理数与有理数四则运算结果可能是无理数或有理数。4.集合特性：有理数集是可数集，无理数集是不可数集。