《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 现有 8 张卡片,分别写上数字 2,4,5,5,6,7,9,16,则这 8 个数的上四分位数是8。

答案： 8

2 教材例题变式 [2025 邯郸一模改编]某校举办校园歌手大赛,决赛中 12 名参赛选手的得分(满分：10 分)分别为 9.5,8.1,7.8,8.5,8.8,9.1,7.5,9.6,8.6,8.8,9.3,9.0。求这组数据的四分位数 $ m_{25} $,$ m_{50} $,$ m_{75} $。

答案： 解:将这12个数据由小到大排序,得7.5,7.8,8.1,8.5,8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,
中位数即50%分位数，因此$m_{50}=\frac{8.8 + 8.8}{2}=8.8$ (分);
前一半数据的中位数为整组数据的下四分位数，故
$m_{25}=\frac{8.1 + 8.5}{2}=8.3$ (分);
后一半数据的中位数为整组数据的上四分位数，故
$m_{75}=\frac{9.1 + 9.3}{2}=9.2$ (分)。

3 [2024 潍坊模拟]有一组被墨水污染的数据：4,17,7,14,★,★,★,16,10,4,4,11,其箱线图如图所示：

下列说法不正确的是 (B)
A. 这组数据的下四分位数是 4
B. 这组数据的中位数是 10
C. 这组数据的上四位数是 15
D. 被墨水污染的数据中一个数是 3,一个数是 18

答案： B 这组数据的下四分位数是4,上四位数是15,中位数为10.5,故A项、C项正确，B项不正确;箱线图的下边缘是3,上边缘是18，所以被墨水污染的数据中一个数是3,一个数是18,D项正确。

4 [2024 台州期末]如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图,从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是甲地。(填“甲地”或“乙地”)

答案： 甲地 根据题中箱线图可知，甲地的日平均气温比乙地波动大，故甲地的日平均气温的方差大。

5 甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91,96,70,89,60,70,100,80,92,98。
乙：92,93,70,88,82,75,96,80,92,95。
(1)求甲组数据的四分位数 $ m_{25} $,$ m_{50} $,$ m_{75} $。
(2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图,观察图中乙组的箱线图,绘制甲组的箱线图。
(3)根据对箱线图和四分位数的理解,谈谈你对两组成绩的看法。

答案：
解:
(1)把甲的成绩从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,
故$m_{50}=\frac{89 + 91}{2}=90,m_{25}=70,m_{75}=96$。
(2)绘制甲组的箱线图如图所示。

(3)(答案不唯一)根据箱线图和四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中。

刻画数据集中趋势的统计量有哪些？刻画数据离散程度的统计量有哪些？它们各有什么特点？

答案： 【解析】：
1. 首先明确刻画数据集中趋势的统计量：
平均数是一组数据的总和除以数据的个数，它利用了所有数据的信息，能反映一组数据的平均水平，但容易受极端值的影响。例如，在数据$1,2,3,4,100$中，平均数为$(1 + 2+3 + 4+100)\div5 = 22$，$100$这个极端值对平均数影响较大。
中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为中位数。它不受极端值的影响，当数据中有极端值时，中位数能更好地反映数据的中间水平。比如数据$1,2,3,4,100$，中位数是$3$。
众数是一组数据中出现次数最多的数据值。它可以反映一组数据中出现次数最多的那个特征，可能不止一个，也可能没有。例如数据$1,2,2,3,3$，众数是$2$和$3$；数据$1,2,3,4,5$没有众数。
2. 然后明确刻画数据离散程度的统计量：
极差是一组数据中的最大值减去最小值，它计算简单，能反映数据的变化范围，但只考虑了最大值和最小值，对其他数据的波动情况反映不全面。例如数据$1,2,3,4,10$，极差为$10 - 1=9$。
方差是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。它反映了一组数据与其平均数的偏离程度，方差越大，数据的离散程度越大，稳定性越差；方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好。计算相对复杂，但能更全面地反映数据的离散情况。
标准差是方差的算术平方根，它和方差的作用类似，也是衡量数据离散程度的统计量，由于其单位与原数据单位一致，在实际应用中更便于理解和比较。
【答案】：
刻画数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数。
特点：平均数利用了所有数据的信息，能反映一组数据的平均水平，但易受极端值影响；中位数不受极端值影响，能更好地反映数据的中间水平；众数可以反映一组数据中出现次数最多的特征，可能不止一个，也可能没有。
刻画数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差。
特点：极差计算简单，能反映数据的变化范围，但对其他数据的波动情况反映不全面；方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度，能更全面地反映数据的离散情况，但计算相对复杂；标准差和方差作用类似，单位与原数据单位一致，便于理解和比较。