《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 [2024青岛期中]下列四组数据中,能作为直角三角形的三边长的一组是 (C)
A. 1,2,3
B. 4,5,6
C. 5,12,13
D. 13,14,15

答案： C
选项 分析 结论
A 1 + 2 = 3，无法构成三角形 不合题意
B 4² + 5² = 16 + 25 = 41，6² = 36，4² + 5² ≠ 6² 不合题意
C 5² + 12² = 25 + 144 = 169，13² = 169，5² + 12² = 13² 符合题意
D 13² + 14² = 169 + 196 = 365，15² = 225，13² + 14² ≠ 15² 不合题意
归纳总结
利用边的关系判定直角三角形的步骤
(1)先找出三角形的最长边；
(2)计算最长边的平方及另外两边的平方和；
(3)若两者相等，则是直角三角形，否则，不是。

2 [2024武汉武昌区期末]已知M,N是线段AB上的两点,$AM= MN= 2$,$NB= 1$,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则$\triangle ABC$一定是 ( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形

答案：
B 如图，AC = AM + MN = 4，BC = MN + NB = 3，AB = AM + MN + NB = 2 + 2 + 1 = 5，所以AC² + BC² = AB²，所以△ABC是直角三角形。

3 教材习题变式[2025西安高新一中期末]如图,小正方形组成的$3×2$网格中,每个小正方形的顶点称为格点。点A,B,C,D,M,N均在格点上,其中A,B,C,D四个点中能与点M,N构成一个直角三角形的是点C。

答案： C 设小正方形的边长为1，因为AM² = 1² = 1，MN² = 1² + 2² = 5，AN² = 1² + 1² = 2，所以AM² + AN² ≠ MN²，所以△AMN不是直角三角形，故A点不符合题意；因为MN² = 1² + 2² = 5，NB² = 1² + 2² = 5，BM² = 2² = 4，所以MN² + BM² ≠ BN²，所以△BMN不是直角三角形，故B点不符合题意；因为MN² = 1² + 2² = 5，CN² = 1² + 2² = 5，MC² = 1² + 3² = 10，所以MN² + CN² = MC²，所以△CMN是直角三角形，故C点符合题意；因为MN² = 1² + 2² = 5，ND² = 2² + 2² = 8，DM² = 3² = 9，所以MN² + DN² ≠ MD²，所以△DMN不是直角三角形，故D点不符合题意。

4 [2024绥化期末]如图,在锐角三角形ABC中,$AB= 13$,$AC= 15$,点D是BC边上一点,$BD= 5$,$AD= 12$,求BC的长。

解：在△ABD中，AB = 13，BD = 5，AD = 12，
因为BD² + AD² = 5² + 12² = 169，AB² = 13² = 169，
所以BD² + AD² = AB²，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。
在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD² = AC² - AD² = 15² - 12² = 9²，所以CD = 9，
所以BC = BD + CD = 5 + 9 = 14。

答案： 解：在△ABD中，AB = 13，BD = 5，AD = 12，
因为BD² + AD² = 5² + 12² = 169，AB² = 13² = 169，
所以BD² + AD² = AB²，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。
在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD² = AC² - AD² = 15² - 12² = 9²，所以CD = 9，
所以BC = BD + CD = 5 + 9 = 14。

5 [2024沈阳皇姑区期末]下列各组数据是勾股数的是 (D)
A. $\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$
B. 4,5,6
C. 0.3,0.4,0.5
D. 9,40,41

答案： D $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$都不是正整数，所以$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$不是勾股数，A项不符合题意；4² + 5² ≠ 6²，不能构成直角三角形，所以4，5，6不是勾股数，B项不符合题意；0.3，0.4，0.5都不是正整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，C项不符合题意；9² + 40² = 41²，能构成直角三角形，且9，40，41都是正整数，D项符合题意。

6 [2025泰安期中]在探索勾股定理的实践课上,同学们发现勾股定理$a^{2}+b^{2}= c^{2}$本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解$(a,b,c)$通常叫作勾股数组。毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:$(3,4,5)$,$(5,12,13)$,$(7,24,25)$,…$$。分析上面勾股数组可以发现,$4= 1×(3+1)$,$12= 2×(5+1)$,$24= 3×(7+1)$,…$$。分析上面的规律,第6个勾股数组为____(13,84,85)。

答案： (13,84,85) 由勾数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)…可知，4 = 1 × (3 + 1)，12 = 2 × (5 + 1)，24 = 3 × (7 + 1)，…，所以第4组勾股数中间的数为4 × (9 + 1) = 40，即勾股数组为(9,40,41)，第5组勾股数中间的数为5 × (11 + 1) = 60，即勾股数组(11,60,61)，第6组勾股数中间的数为6 × (13 + 1) = 84，即勾股数组(13,84,85)。

7 教材习题变式[2025扬州江都区期中]小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段,她同时握住第1个结和第25个结,小淇同学握住第7个结,这时小婷同学应该握住第15个结,拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形。

答案： 15 因为小淇同学握住第7个结，所以小惠和小淇之间有6个单位长度，因为6，8，10是一组勾股数，且6 + 8 + 10 = 24，所以小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形。

8 [2024渭南期中]如图,在四边形ABCD中,$AB= 20$,$BC= 15$,$CD= 7$,$AD= 24$,$∠B= 90^{\circ}$。
(1)判断$∠D$是否为直角,并说明理由。
(2)四边形ABCD的面积为____。

答案：
解：
(1)∠D是直角。理由如下：
如图，连接AC。
因为∠B = 90°，所以AC² = AB² + BC² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625。
因为AD² + CD² = 24² + 7² = 625，
所以AC² = AD² + CD²，
所以△ADC是直角三角形，且∠D是直角。
(2)234
因为S四边形ABCD = S△ABC + S△ADC，所以S四边形ABCD = $\frac{1}{2}$AB · BC + $\frac{1}{2}$AD · CD = $\frac{1}{2}$ × 20 × 15 + $\frac{1}{2}$ × 24 × 7 = 234。