《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

已知一个正数的两个平方根分别为$a + 6$和$2a - 15$,$3a + 4b + 7$的立方根为4,请解答下列问题。
(1)求$a$和$b$的值。
(2)$\sqrt{b - 2a}$是无理数。(填“有理”或“无理”)
(3)$\sqrt{3a + 7}$的算术平方根是2,$a - b + 1$的立方根是-2。
(4)与$\sqrt{2(a + b)}$最接近的整数是5。
(5)若$x$是$\sqrt{a}$的整数部分,$y$是$\sqrt{a}$的小数部分,
①求$2x - y$的值。
复习专练
②若$z = \sqrt{30}×\sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{27} + \frac{-\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$,试比较$y$与$z$的大小。
③求代数式$(2 + \sqrt{3})y^{2} + (1 + \sqrt{3})y + \sqrt{3}$的值。

答案： 解：
(1)因为一个正数的两个平方根分别为 $a + 6$ 和 $2a - 15$，
所以 $a + 6 + 2a - 15 = 0$，所以 $a = 3$，
又因为 $3a + 4b + 7$ 的立方根为 4，
所以 $9 + 4b + 7 = 64$，所以 $b = 12$。
(2)无理
(3)2 -2
由
(1)得，$\sqrt{3a + 7} = \sqrt{9 + 7} = 4$，$a - b + 1 = 3 - 12 + 1 = -8$，
所以 $\sqrt{3a + 7}$ 的算术平方根是 2，$a - b + 1$ 的立方根是 -2。
(4)5
(5)①因为 $\sqrt{a} = \sqrt{3}$，所以 $x = 1$，$y = \sqrt{3} - 1$，
所以 $2x - y = 2 - (\sqrt{3} - 1) = 3 - \sqrt{3}$。
②$z = \sqrt{30} \times \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{27} + \frac{-\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{30 \times \frac{2}{3}} - \sqrt{9 \times 3} - \sqrt{\frac{10}{2}} + 2\sqrt{\frac{6}{2}} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{3} - \sqrt{5} + 2\sqrt{3} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$。
因为 $y = \sqrt{3} - 1$，所以 $\frac{1}{y} = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$。
因为 $\frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} ＜ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$，
所以 $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} ＜ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$，即 $\frac{1}{y} ＜ \frac{1}{z}$，
所以 $y ＞ z$。
③因为 $y = \sqrt{3} - 1$，
所以 $(2 + \sqrt{3})y^2 + (1 + \sqrt{3})y + \sqrt{3}$
$= (2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)^2 + (1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{3}$
$= (2 + \sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3}) + (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{3}$
$= 2(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) + 3 - 1 + \sqrt{3}$
$= 2 + 3 - 1 + \sqrt{3}$
$= 4 + \sqrt{3}$。