《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

6 [2024西安交大附中期末]一个两位数,减去它的各位数字之和的3倍,结果是13;这个两位数除以它的各位数字之和,商是4,余数是6,设十位上的数字为x,个位上的数字为y,列方程组为(A)
A. $\left\{\begin{array}{l} 10x + y - 3(x + y) = 13,\\ 10x + y - 6 = 4(x + y)\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l} 10x + y + 3(x + y) = 13,\\ 10x + y - 6 = 4(x + y)\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l} 10x + y - 3(x + y) = 13,\\ 10x + y + 6 = 4(x + y)\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l} 10x + y + 3(x + y) = 13,\\ 10x + y + 6 = 4(x + y)\end{array}\right.$

答案： A

7 [2024重庆渝北区模拟]客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶,客车长450米,货车长600米。如果两车相向而行,那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒;如果客车从后面追货车,那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1分45秒。则客车的速度为30米/秒,货车的速度为20米/秒。

答案： 30 20 1 分 45 秒 = 105 秒，设客车的速度为 $ x $ 米/秒，货车的速度为 $ y $ 米/秒，由题意可得 $\begin{cases}21(x + y) = 450 + 600,\\105(x - y) = 450 + 600,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 30,\\y = 20。\end{cases}$

8 教材习题变式[2025太原月考]从小明家到公园有一段上坡路和一段平路。周末,小明到公园玩耍,如果上坡路每小时走3千米,平路每小时走4千米,下坡路每小时走5千米,小明从家到公园需要1小时,从公园回到家需要48分钟。请问从小明家到公园的上坡路和平路各多少千米。

答案： 解：设从小明家到公园的上坡路为 $ x $ 千米，平路为 $ y $ 千米，
根据题意，得 $\begin{cases}\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1,\\\frac{y}{4} + \frac{x}{5} = \frac{48}{60},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 1.5,\\y = 2。\end{cases}$
所以从小明家到公园的上坡路为 1.5 千米，平路为 2 千米。

9 [2024杭州萧山区期末]某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等),加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器(加工时接缝材料忽略不计)。
(1)填表:
| |长方形铁片张数|正方形铁片张数|
|--|--|--|
|1 只竖式无盖铁容器中|4|1|
|1 只横式无盖铁容器中|3|2|
(2)现有长方形铁片300张,正方形铁片100张,如果将两种铁片刚好全部用完,则可加工的竖式和横式无盖长方体铁容器各有多少个?
解：设可以加工竖式无盖长方体铁容器 $ x $ 个，横式无盖长方体铁容器 $ y $ 个，
由题意，得 $\begin{cases}4x + 3y = 300,\\x + 2y = 100,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 60,\\y = 20,\end{cases}$
所以可加工竖式无盖长方体铁容器 60个，横式无盖长方体铁容器 20个。
(3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒。现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片,用来加工铁盒,已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片,也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片。问:该工厂充分利用这35张铁板,最多可以加工成多少个铁盒?
解：设用 $ m $ 块铁板裁成长方形铁片，$ n $ 块铁板裁成正方形铁片，则用 $ (35 - m - n) $ 块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，
由题意，得 $\frac{3m + (35 - m - n)}{4} = \frac{4n + 2(35 - m - n)}{2}$，
所以 $ n = \frac{6}{5}m - 21 $。
因为 $ m,n,(35 - m - n) $ 均为非负整数，
所以 $\begin{cases}m = 25,\\n = 9\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 20,\\n = 3。\end{cases}$
当 $ m = 25,n = 9 $ 时，$\frac{3m + (35 - m - n)}{4} = \frac{3×25 + (35 - 25 - 9)}{4} = 19$；
当 $ m = 20,n = 3 $ 时，$\frac{3m + (35 - m - n)}{4} = \frac{3×20 + (35 - 20 - 3)}{4} = 18$。
因为 $ 19 ＞ 18 $，
所以最多可以加工成 19个铁盒。

答案： 解：
(1)填表如下：
| |长方形铁片张数|正方形铁片张数|
|--|--|--|
|1 只竖式无盖铁容器中|4|1|
|1 只横式无盖铁容器中|3|2|
(2)设可以加工竖式无盖长方体铁容器 $ x $ 个，横式无盖长方体铁容器 $ y $ 个，
由题意，得 $\begin{cases}4x + 3y = 300,\\x + 2y = 100,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 60,\\y = 20,\end{cases}$
所以可加工竖式无盖长方体铁容器 60 个，横式无盖长方体铁容器 20 个。
(3)设用 $ m $ 块铁板裁成长方形铁片，$ n $ 块铁板裁成正方形铁片，则用 $ (35 - m - n) $ 块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，
由题意，得 $\frac{3m + (35 - m - n)}{4} = \frac{4n + 2(35 - m - n)}{2}$，
所以 $ n = \frac{6}{5}m - 21 $。
因为 $ m,n,(35 - m - n) $ 均为非负整数，
所以 $\begin{cases}m = 25,\\n = 9\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m = 20,\\n = 3。\end{cases}$
当 $ m = 25,n = 9 $ 时，$\frac{3m + (35 - m - n)}{4} = \frac{3×25 + (35 - 25 - 9)}{4} = 19$；
当 $ m = 20,n = 3 $ 时，$\frac{3m + (35 - m - n)}{4} = \frac{3×20 + (35 - 20 - 3)}{4} = 18$。
因为 $ 19 ＞ 18 $，
所以最多可以加工成 19 个铁盒。

方程的学习一般会经历怎样的过程?学习过程中,你体会到哪些重要的数学思想方法?

答案： 【解析】：
1. 方程学习一般经历的过程：
首先是方程概念的引入，通常从实际问题情境出发，比如生活中的购物、行程等问题，让学生感受到用算术方法解决某些问题存在困难，从而引出方程这种新的数学工具。例如，已知小明买了 3 支铅笔，每支铅笔价格相同，一共花了 6 元，求每支铅笔的价格。用算术方法可能需要思考 6 除以 3，但当问题更复杂时，用方程设每支铅笔价格为$x$元，列出$3x = 6$就更直观。
接着是方程的建立，学生要学会分析问题中的数量关系，找出等量关系，然后根据等量关系列出方程。比如在行程问题中，路程 = 速度×时间，若已知甲、乙两人的速度和相遇时间，求两地距离，就可以根据两人的路程和等于两地距离这个等量关系来列方程。
然后是方程的求解，学生要掌握解方程的方法，如等式的基本性质（等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立），通过逐步变形求出方程的解。
最后是方程的应用，将所学的方程知识运用到各种实际问题和数学问题中，检验和巩固所学内容，提高解决问题的能力。
2. 学习过程中体会到的重要数学思想方法：
方程思想：方程思想是指从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程），然后通过解方程来解决问题。它体现了已知与未知的对立统一，把未知量当作已知量参与运算，通过建立方程来求解未知量。
化归思想：在解方程的过程中，化归思想体现得很明显。例如，将复杂的方程通过变形、化简等方法转化为简单的方程，将多元方程逐步消元转化为一元方程，将高次方程降次转化为低次方程等，最终将问题归结为已经熟悉的、容易解决的形式。
建模思想：从实际问题中抽象出数学模型（方程）的过程就是建模思想的体现。通过对实际问题进行分析、简化，找出其中的关键因素和数量关系，建立起相应的方程模型，然后用数学方法求解模型，最后再将结果应用到实际问题中进行检验和解释。
【答案】：1. 方程学习一般经历概念引入（从实际问题情境引出方程）、方程建立（分析数量关系，找出等量关系列方程）、方程求解（运用等式基本性质等方法解方程）、方程应用（将方程知识用于解决实际和数学问题）的过程。2. 重要的数学思想方法有方程思想（将未知量当作已知量参与运算，建立方程求解未知量）、化归思想（将复杂方程转化为简单方程求解）、建模思想（从实际问题抽象出方程模型并求解应用）。