《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

8 [2025内江月考]如图,过点A的一次函数的图象与正比例函数$ y = 2x $的图象相交于点B,则这个一次函数的表达式是 (A)

A. $ y = -x + 3 $
B. $ y = -2x + 3 $
C. $ y = 2x - 3 $
D. $ y = -x - 3 $

答案： A 因为点B在正比例函数y = 2x的图象上，其横坐标为1，所以y = 2×1 = 2，所以B(1,2)。设一次函数的表达式为y = kx + b，因为一次函数的图象与y轴交于点A(0,3)，所以b = 3，又因为一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点B，所以k + 3 = 2，所以k = −1，所以一次函数的表达式是y = −x + 3。

9 [2024深圳福田区期中]如图,直线$ y = \frac{2}{3}x + 2 $分别与x轴、y轴交于点A,B,以线段AB为边,在第二象限内作等腰直角三角形ABC,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,则过B,C两点的直线的表达式为 ( )
A. $ y = \frac{1}{3}x + 2 $
B. $ y = -\frac{1}{5}x + 2 $
C. $ y = \frac{1}{4}x + 2 $
D. $ y = -2x + 2 $

答案：
B 对于直线y = $\frac{2}{3}$x + 2，令x = 0，得y = 2，即B(0,2)，OB = 2，令y = 0，得x = −3，即A(−3,0)，OA = 3。如图，过C作CM⊥x轴，垂足为M，可得∠AMC = ∠BOA = 90°，所以∠ACM + ∠CAM = 90°。因为△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC = 90°，AC = BA，所以∠CAM + ∠BAO = 90°，所以∠ACM = ∠BAO。在△CAM和△ABO中，$\begin{cases} \angle AMC = \angle BOA \\ \angle ACM = \angle BAO \\ AC = BA \end{cases}$，所以△CAM≌△ABO(AAS)，所以AM = BO = 2，CM = AO = 3，所以OM = OA + AM = 3 + 2 = 5，所以C(−5,3)。设直线BC的表达式为y = kx + 2，代入C点坐标可得k = −$\frac{1}{5}$，所以过B、C两点的直线的表达式是y = −$\frac{1}{5}$x + 2。

10 教材习题变式[2025青岛期末]中国茶文化博大精深,祁门红茶在国内外享有盛誉,并被评为“中国十大名茶”。泡茶时,水温很有讲究。祁门红茶的冲泡温度一般建议在$ 90^{\circ}C $~$ 95^{\circ}C $,为了冲泡出来的茶口感更佳,徽徽同学在煮茶时记录了水温T(单位:$ ^{\circ}C $)随时间t(单位:min)变化的数据,如表所示。若水温的变化是均匀的,预测水温达到$ 90^{\circ}C $的时间是 (9min)

A. 8 min
B. 9 min
C. 10 min
D. 11 min

答案： B 由题中表格可知，时间每增加2min，温度升高16℃，因此水温T是时间t的一次函数，所以设水温T与时间t的关系式为T = kt + b(k≠0)，因为t = 0时，T = 18，所以b = 18，又因为t = 2时，T = 34，所以2k + 18 = 34，所以k = 8，所以一次函数的表达式为T = 8t + 18，把T = 90代入，得90 = 8t + 18，解得t = 9，所以可预测水温达到90℃的时间是9min。

11 教材习题变式 已知某一次函数的图象经过点$ A(0,2) $,且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则该一次函数的表达式是y = x + 2或y = −x + 2。

答案： y = x + 2或y = −x + 2 设该一次函数的表达式为y = kx + b(k≠0)，把(0,2)代入得b = 2，所以y = kx + 2，把y = 0代入得x = −$\frac{2}{k}$，所以$\frac{1}{2}$×2×|−$\frac{2}{k}$| = 2，解得k = 1或−1，所以所求一次函数的表达式为y = x + 2或y = −x + 2。

变式[2024咸阳期末]已知直线$ l_1 $与x轴交于点$ A(-2,0) $,且直线$ l_1 $与两坐标轴围成的三角形的面积为4,将直线$ l_1 向下平移 m(m ＞ 0) 个单位得到直线 l_2 $,直线$ l_2 $交x轴于点B,若点A与点B关于y轴对称,则m的值为____。

答案：
如图，设直线l₁与y轴的交点C的坐标为(0,n)，因为点A与点B关于y轴对称，所以点B的坐标为(2,0)。因为直线l₁与两坐标轴围成的三角形的面积为4，点A(−2,0)，所以$\frac{1}{2}$×|−2|×n = 4，解得n = 4，所以点C的坐标为(0,4)。设直线l₁的函数表达式为y = kx + b，因为直线l₁经过C(0,4)，所以b = 4。因为直线l₁经过A(−2,0)，所以−2k + 4 = 0，所以k = 2，所以直线l₁的函数表达式为y = 2x + 4。因为直线l₂由直线l₁平移得到，所以设直线l₂的函数表达式为y = 2x + b'，把点B(2,0)的坐标代入，得2×2 + b' = 0，解得b' = −4，所以直线l₂的函数表达式为y = 2x − 4，所以m = 4 − (−4) = 8。

12 如图,在平面直角坐标系中,直线$ y = -x + 3 $过点 A(5,m) 且与y轴交于点B,把点A向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到点C。过点C且与直线$ y = 2x $平行的直线交y轴于点D。
(1)求直线CD的函数表达式;y = 2x − 4
(2)直线AB与CD交于点E,将直线CD沿EB方向平移,平移到经过点B的位置结束,求直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围。−$\frac{3}{2}$≤x≤2

答案： 解：
(1)因为直线y = −x + 3过点A(5,m)，所以m = −5 + 3 = −2，所以点A的坐标为(5,−2)，易得点C的坐标为(3,2)。由题可设直线CD的函数表达式为y = 2x + b，把点C的坐标(3,2)代入，得2×3 + b = 2，解得b = −4，故直线CD的函数表达式为y = 2x − 4。
(2)对于y = 2x − 4，令y = 0，得x = 2，故平移前，直线CD与x轴交点的横坐标为2。易得B(0,3)，当直线CD平移到经过点B(0,3)的位置时，设其函数表达式为y = 2x + t，把点B的坐标(0,3)代入，得t = 3，所以y = 2x + 3，令y = 0，得x = −$\frac{3}{2}$，故平移到经过点B的位置时，直线y = 2x + 3与x轴交点的横坐标为−$\frac{3}{2}$。综上，直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为−$\frac{3}{2}$≤x≤2。

研究一次函数经历了怎样的过程?

答案： 【解析】：研究一次函数通常先从实际问题中抽象出一次函数的概念，明确其一般形式$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）。接着通过列表、描点、连线的方法画出一次函数的图象，从图象的形状、位置等方面直观地认识一次函数的特征。然后分析一次函数中$k$和$b$的取值对函数图象和性质的影响，比如$k$的正负决定函数的增减性，$b$决定函数图象与$y$轴的交点位置。最后将一次函数的知识应用到实际问题中，解决诸如行程问题、费用问题等，以检验和深化对一次函数的理解。
【答案】：从实际问题抽象出概念，通过列表、描点、连线画图象，分析$k$、$b$对函数图象和性质的影响，最后应用到实际问题中。