《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

【综合与实践】有言道:“杆秤一头称起人间生计,一头称起天地良心。”某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤,小组先设计方案,然后动手制作,再结合实际进行调试,请完成下列方案设计中的任务。
【知识背景】如图,称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得:$(m_{0}+m)\cdot l= M\cdot (a+y)$,其中秤盘质量为$m_{0}$克,重物质量为m克,秤砣质量为M克,秤纽与秤盘的水平距离为l厘米,秤纽与零刻线的水平距离为a厘米,秤砣与零刻线的水平距离为y厘米。
【方案设计】目标:设计简易杆秤。设定$m_{0}= 10,M= 50$,最大可称重物质量为1000克,零刻线与末刻线的距离定为50厘米。
任务一:确定l和a的值。
(1)当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请列出关于l,a的方程;$10l=50a$（或$l=5a$）
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡,请列出关于l,a的方程;$(10+1000)l=50(a+50)$（或$101l-5a=250$）
(3)根据(1)和(2)所列方程,求出l和a的值。$l=2.5$，$a=0.5$
任务二:确定刻线的位置。
(4)根据任务一,求y关于m的函数表达式;$y=\frac{1}{20}m$
(5)从零刻线开始,每隔100克在秤杆上找到对应刻线,请写出相邻刻线间的距离。5厘米

答案： 解：
(1)由题意，得 $m = 0$，$y = 0$，
因为 $m_0 = 10$，$M = 50$，所以 $10l = 50a$，所以 $l = 5a$。
(2)由题意，得 $m = 1000$，$y = 50$，
所以 $(10 + 1000)l = 50(a + 50)$，
所以 $101l - 5a = 250$。
(3)由
(1)
(2)可得，$l = 5a$，$101l - 5a = 250$，
所以 $101l - l = 250$，所以 $l = 2.5$，所以 $a = 0.5$。
(4)由
(3)可知，$l = 2.5$，$a = 0.5$，
所以 $2.5(10 + m) = 50(0.5 + y)$，
所以 $y = \frac{1}{20}m$。
(5)由
(4)可知，$y = \frac{1}{20}m$，
当 $m = 0$ 时，$y = 0$，当 $m = 100$ 时，$y = 5$，
所以相邻刻线间的距离为 $5$ 厘米。