《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 计算：
(1)$(2\sqrt {\frac {3}{2}}-\sqrt {\frac {1}{2}})(\frac {\sqrt {8}}{2}+\sqrt {\frac {2}{3}})$；
(2)$(\sqrt {3}+\sqrt {2}-\sqrt {6})^{2}-(\sqrt {2}-\sqrt {3}+\sqrt {6})^{2}$；
(3)$(1+\sqrt {2}-\sqrt {3})(1-\sqrt {2}+\sqrt {3})$；
(4)$\sqrt {6}÷(\sqrt {3}+\sqrt {2})+(\sqrt {3}+\sqrt {2})÷\sqrt {6}$。

答案： 解:
(1)$(2\sqrt {\frac {3}{2}}-\sqrt {\frac {1}{2}})(\frac {\sqrt {8}}{2}+\sqrt {\frac {2}{3}})$
$=2\sqrt {\frac {3}{2}}×\frac {\sqrt {8}}{2}+2\sqrt {\frac {3}{2}}×\sqrt {\frac {2}{3}}-\sqrt {\frac {1}{2}}×\frac {\sqrt {8}}{2}-\sqrt {\frac {1}{2}}×\sqrt {\frac {2}{3}}$
$=2\sqrt {3}+2-1-\frac {\sqrt {3}}{3}$
$=1+\frac {5\sqrt {3}}{3}$。
(2)$(\sqrt {3}+\sqrt {2}-\sqrt {6})^{2}-(\sqrt {2}-\sqrt {3}+\sqrt {6})^{2}$
$=(\sqrt {3}+\sqrt {2}-\sqrt {6}+\sqrt {2}-\sqrt {3}+\sqrt {6})(\sqrt {3}+\sqrt {2}-\sqrt {6}-\sqrt {2}+\sqrt {3}-\sqrt {6})$
$=2\sqrt {2}(2\sqrt {3}-2\sqrt {6})$
$=4\sqrt {6}-8\sqrt {3}$。
(3)$(1+\sqrt {2}-\sqrt {3})(1-\sqrt {2}+\sqrt {3})$
$=[1+(\sqrt {2}-\sqrt {3})][1-(\sqrt {2}-\sqrt {3})]$
$=1-(\sqrt {2}-\sqrt {3})^{2}$
$=1-5+2\sqrt {6}$
$=2\sqrt {6}-4$。
(4)$\sqrt {6}÷(\sqrt {3}+\sqrt {2})+(\sqrt {3}+\sqrt {2})÷\sqrt {6}$
$=\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}+\frac {\sqrt {3}+\sqrt {2}}{\sqrt {6}}$
$=\frac {\sqrt {6}(\sqrt {3}-\sqrt {2})}{(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {3}-\sqrt {2})}+\frac {(\sqrt {3}+\sqrt {2})×\sqrt {6}}{\sqrt {6}×\sqrt {6}}$
$=3\sqrt {2}-2\sqrt {3}+\frac {\sqrt {2}}{2}+\frac {\sqrt {3}}{3}$
$=\frac {7\sqrt {2}}{2}-\frac {5\sqrt {3}}{3}$。

已知$a= \sqrt {5}+1$,则代数式$a^{2}-2a$的值为4。

答案： 4 因为$a=\sqrt {5}+1$,所以$a^{2}-2a=a(a-2)=(\sqrt {5}+1)(\sqrt {5}+1-2)=(\sqrt {5}+1)(\sqrt {5}-1)=5-1=4$。

3 [2024 长春绿园区期末]先化简,再求值：$(a+2)^{2}+a(2-a)$,其中$a= \frac {\sqrt {2}-2}{3}$。

答案： 解:$(a+2)^{2}+a(2-a)$
$=a^{2}+4a+4+2a-a^{2}$
$=6a+4$,
当$a=\frac {\sqrt {2}-2}{3}$时,原式$=6×\frac {\sqrt {2}-2}{3}+4=2\sqrt {2}-4+4=2\sqrt {2}$。

4 [2024 泉州期末]先化简,再求值：$[(2x+y)(2x-y)+(x-y)^{2}+3(x^{2}-2xy)]÷8x$,其中$x= \frac {1}{\sqrt {2}-1},y= \frac {1}{\sqrt {2}+1}$。
解:$[(2x+y)(2x-y)+(x-y)^{2}+3(x^{2}-2xy)]÷8x$
$=(4x^{2}-y^{2}+x^{2}-2xy+y^{2}+3x^{2}-6xy)÷8x$
$=(8x^{2}-8xy)÷8x$
$=$$x-y$。
当$x=\frac {1}{\sqrt {2}-1}=\sqrt {2}+1,y=\frac {1}{\sqrt {2}+1}=\sqrt {2}-1$时,
原式$=$$2$。

答案： 解:$[(2x+y)(2x-y)+(x-y)^{2}+3(x^{2}-2xy)]÷8x$
$=(4x^{2}-y^{2}+x^{2}-2xy+y^{2}+3x^{2}-6xy)÷8x$
$=(8x^{2}-8xy)÷8x$
$=x-y$。
当$x=\frac {1}{\sqrt {2}-1}=\sqrt {2}+1,y=\frac {1}{\sqrt {2}+1}=\sqrt {2}-1$时,
原式$=\sqrt {2}+1-(\sqrt {2}-1)=2$。