《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

5 某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动,需要制作宣传单,校园附近有甲、乙两家印刷社,制作此种宣传单的收费标准如下。
甲印刷社的收费y(元)与印数x(张)的函数关系如下表:

乙印刷社的收费方式:500张以内(含500张),按每张0.20元收费;超过500张的部分,按每张0.10元收费。
(1)根据表中规律,求出甲印刷社的收费y(元)与印数x(张)之间的函数关系式。
解：由题意设甲印刷社的收费$y$(元)与印数$x$(张)之间的函数关系式为$y = kx + b$，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 15 = 100k + b\\ 30 = 200k + b\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} k = 0.15\\ b = 0\end{array}\right. $，所以甲印刷社的收费$y$(元)与印数$x$(张)之间的函数关系式为$y = 0.15x$。
(2)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单,用去65元,问在甲、乙两家印刷社分别印制多少张。
解：设在甲印刷社印制$m$张，在乙印刷社印制$n$张，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} m + n = 400\\ 0.15m + 0.20n = 65\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} m = 300\\ n = 100\end{array}\right. $，所以在甲印刷社印制300张，在乙印刷社印制100张。
(3)活动结束后,市民反映此活动很好,该小组决定再加印800张宣传单,若在甲、乙印刷社中选一家,则该小组选择哪家印刷社比较划算?
解：在甲印刷社印制的费用为$0.15×800 = 120$(元)。在乙印刷社印制的费用为$500×0.2 + 0.1×(800 - 500)=130$(元)。因为$120\lt130$，所以该小组选择甲印刷社比较划算。

答案： 解：
(1)由题意设甲印刷社的收费$y$(元)与印数$x$(张)之间的函数关系式为$y = kx + b$，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} 15 = 100k + b\\ 30 = 200k + b\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} k = 0.15\\ b = 0\end{array}\right. $，所以甲印刷社的收费$y$(元)与印数$x$(张)之间的函数关系式为$y = 0.15x$。
(2)设在甲印刷社印制$m$张，在乙印刷社印制$n$张，由题意，得$\left\{\begin{array}{l} m + n = 400\\ 0.15m + 0.20n = 65\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} m = 300\\ n = 100\end{array}\right. $，所以在甲印刷社印制$300$张，在乙印刷社印制$100$张。
(3)在甲印刷社印制的费用为$0.15×800 = 120$(元)。在乙印刷社印制的费用为$500×0.2 + 0.1×(800 - 500)=130$(元)。因为$120\lt130$，所以该小组选择甲印刷社比较划算。

6 [2025扬州邗江区期末]现有甲、乙两个容器,每个容器都装有进水管和出水管,甲容器原来没有水,乙容器原有一定的水量。首先打开甲容器的进水管注水,第10min同时打开甲、乙两容器的出水管排水,第15min关闭甲容器的进水管,直到甲、乙两容器水排完。甲、乙两容器中的水量$y_{1},y_{2}$(单位:L)与时间x(从甲容器注水开始计时,单位:min)的函数关系如图所示。请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲容器进水管的注水速度是______L/min,乙容器出水管的排水速度是______L/min;
(2)求甲容器出水管的排水速度及线段AB对应的函数表达式;
(3)当$x= $______时,两容器中的水量差为180L。

答案：
解：
(1)$60$ $40$ 由题中图象可知，甲容器进水管的注水速度是$\frac{600}{10}=60(L/min)$，乙容器出水管的排水速度是$\frac{440}{21 - 10}=40(L/min)$。
(2)设甲容器出水管的排水速度为$aL/min$，由题意，得$600+(15 - 10)×60-(20 - 10)a = 0$，解得$a = 90$，所以甲容器出水管的排水速度为$90L/min$。设线段$AB$对应的函数关系式为$y = kx + b(10\leq x\leq15)$，由$k$的实际意义，得$k = 60 - 90 = -30$，将$A(10,600)$代入，得$600=-30×10 + b$，解得$b = 900$，所以线段$AB$对应的函数表达式为$y = -30x + 900(10\leq x\leq15)$。
(3)$\frac{13}{3}min$或$12min$或$\frac{78}{5}min$
①由题意，得$440 - 60x = 180$，解得$x = \frac{13}{3}$。
②如图，因为线段$AB$对应的函数表达式为$y = -30x + 900$，所以当$x = 15$时，$y=-30×15 + 900 = 450$，所以$B(15,450)$，设直线$BC$的表达式为$y = mx + n$，把$B(15,450)$，$C(20,0)$的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l} 15m + n = 450\\ 20m + n = 0\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} m = -90\\ n = 1800\end{array}\right. $，所以直线$BC$的表达式为$y = -90x + 1800$。设直线$DE$的表达式为$y = ex + f$，把$D(10,440)$，$E(21,0)$的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l} 10e + f = 440\\ 21e + f = 0\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} e = -40\\ f = 840\end{array}\right. $，所以直线$DE$的表达式为$y = -40x + 840$，根据题意，得$-30x + 900-(-40x + 840)=180$，解得$x = 12$。
③$(-90x + 1800)-(-40x + 840)=180$，解得$x = \frac{78}{5}$。综上，$x = \frac{13}{3}min$或$12min$或$\frac{78}{5}min$时，两容器中的水量差为$180L$。

方程与函数有怎样的区别和联系?

答案： 【解析】：
### 区别
1. **概念本质**
方程是含有未知数的等式，其核心是寻求使等式成立的未知数的值，重点在于找到满足条件的特定解。例如一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，我们的目标是求出$x$的值。
函数是两个非空数集之间的一种对应关系，对于定义域内的每一个自变量$x$的值，都有唯一确定的因变量$y$值与之对应，强调的是变量之间的对应规律。比如一次函数$y = kx + b(k\neq0)$，它描述了$x$和$y$之间的一种线性变化关系。
2. **研究侧重点**
方程主要研究的是方程的解，包括解的存在性、解的个数以及求解的方法等。例如求解方程$\sin x=\frac{1}{2}$，需要找出在给定区间内满足该等式的$x$的值。
函数侧重于研究函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。以函数$y = x^{2}$为例，我们会研究它的定义域是$R$，值域是$[0,+\infty)$，在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，且是偶函数。
3. **表示形式**
方程通常以等式的形式呈现，如$x^{3}-3x + 2 = 0$。
函数一般用解析式$y = f(x)$来表示，也可以用列表法、图象法来表示。
### 联系
1. **方程可看作函数值为特定值时的情况**
对于函数$y = f(x)$，当$y$取某个特定值$y_0$时，就得到方程$f(x)=y_0$。例如函数$y = 2x - 1$，当$y = 3$时，就得到方程$2x - 1 = 3$，方程的解就是使函数值为$3$的自变量$x$的值。
2. **函数图象与方程的解的关系**
方程$f(x)=0$的解就是函数$y = f(x)$的图象与$x$轴交点的横坐标。例如方程$x^{2}-1 = 0$的解$x=\pm1$，就是函数$y = x^{2}-1$的图象与$x$轴交点$(-1,0)$和$(1,0)$的横坐标。
3. **借助函数研究方程**
可以利用函数的性质来研究方程的解的情况。比如通过研究函数$y = f(x)$的单调性、极值等性质，来判断方程$f(x)=0$解的个数和大致范围。
【答案】：区别：方程是含有未知数的等式，重点是求使等式成立的未知数的值；函数是两个非空数集间的对应关系，强调变量间的对应规律。方程研究解的情况，函数研究性质。方程以等式呈现，函数可用解析式、列表法、图象法表示。联系：方程可看作函数值取特定值时的情况；方程$f(x)=0$的解是函数$y = f(x)$图象与$x$轴交点的横坐标；可借助函数性质研究方程解的情况。