《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

(1)【问题类比】小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”。请你用上述方法帮小亮比较出$l_{1}与l_{2}$的大小。
解：如题图 2。因为圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm，所以路线1：$l_{1}^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=$25+π²。路线2：$l_{2}=5+2=7(cm)$，则$l_{2}^{2}=$49。因为$l_{1}^{2}-l_{2}^{2}=25+π^{2}-49=π^{2}-24$<0，所以$l_{1}^{2}＜l_{2}^{2}$，所以$l_{1}＜l_{2}$。
(2)【问题拓展】请你帮他们继续研究：在一般情况下,若圆柱的底面半径为r cm,高为h cm,蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C,当$\frac {r}{h}$满足什么条件时,路线2较短？请说明理由。
解：当$\frac{r}{h}$满足$\frac{r}{h}＞\frac{4}{π² - 4}$时，路线2较短。理由如下：如题图2。因为圆柱的底面半径为r cm，高为h cm，所以路线1：$l_{1}^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=h²+(πr)²$。路线2：$l_{2}^{2}=(h + 2r)²$。所以$l_{1}^{2}-l_{2}^{2}=h²+(πr)²-(h + 2r)²=r(π²r - 4r - 4h)=r[ (π² - 4)r - 4h ]$。因为r恒大于0，所以当$(π² - 4)r - 4h＞0$，即$\frac{r}{h}＞\frac{4}{π² - 4}$时，$l_{1}^{2}＞l_{2}^{2}$，此时路线2较短。
(3)【问题解决】图3是紧密排列在一起的2个相同的圆柱,高为5cm。蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C,当路线1和路线2这两条路线长度相等时,求圆柱的底面半径r。
解：路线1：$l_{1}^{2}=$25 + (2πr)²。路线2：$l_{2}^{2}=$(5 + 4r)²。由题意，得25 + (2πr)²=(5 + 4r)²，解得r=$\frac{10}{π² - 4}$。即当路线1和路线2这两条路线长度相等时，圆柱的底面半径r为$\frac{10}{π² - 4}cm$。

答案： 解：
(1)如题图 2。因为圆柱的底面半径为 $ 1cm $，高 $ AB $ 为 $ 5cm $，所以路线 1：$ l_{1}^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=25+\pi^{2} $。路线 2：$ l_{2}=5 + 2=7(cm) $，则 $ l_{2}^{2}=49 $。因为 $ l_{1}^{2}-l_{2}^{2}=25+\pi^{2}-49=\pi^{2}-24 \lt 0 $，所以 $ l_{1}^{2} \lt l_{2}^{2} $，所以 $ l_{1} \lt l_{2} $。
(2)当 $ \frac{r}{h} \gt \frac{4}{\pi^{2}-4} $ 时，路线 2 较短。理由如下：如题图 2。因为圆柱的底面半径为 $ r cm $，高为 $ h cm $，所以路线 1：$ l_{1}^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=h^{2}+(\pi r)^{2} $。路线 2：$ l_{2}^{2}=(h + 2r)^{2} $。所以 $ l_{1}^{2}-l_{2}^{2}=h^{2}+(\pi r)^{2}-(h + 2r)^{2}=r(\pi^{2}r - 4r - 4h)=r[(\pi^{2}-4)r - 4h] $。因为 $ r $ 恒大于 $ 0 $，所以当 $ (\pi^{2}-4)r - 4h \gt 0 $，即 $ \frac{r}{h} \gt \frac{4}{\pi^{2}-4} $ 时，$ l_{1}^{2} \gt l_{2}^{2} $，此时路线 2 较短。
(3)路线 1：$ l_{1}^{2}=25+(2\pi r)^{2} $。路线 2：$ l_{2}^{2}=(5 + 4r)^{2} $。由题意，得 $ 25+(2\pi r)^{2}=(5 + 4r)^{2} $，解得 $ r=\frac{10}{\pi^{2}-4} $。即当路线 1 和路线 2 这两条路线长度相等时，圆柱的底面半径 $ r $ 为 $ \frac{10}{\pi^{2}-4}cm $。