《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

9 [2024永州李达中学月考]如图,其中①②中天平保持平衡,现要使③中的天平也平衡,需要在天平右盘中放入砝码(30克)

A. 30克
B. 25克
C. 20克
D. 59克

答案： A 由题意，得$\begin{cases}3▲ + 2● = 80,①\\3● + 2▲ = 70,②\end{cases}$ ① + ②，得$5▲ + 5● = 150$，所以$▲ + ● = 30$，即需要在天平右盘中放入砝码30克。

$10 [2025$驻马店二中月考$]$在解关于$x,y$的方程组
时$,$可以用$①×2 + ②$消去未知数$x,$也可以用$① + ②×5$消去未知数$y,$则$m - n = ($$\frac{8}{7}$$)$
A. 4
B. $-\frac {8}{3}$
C. $-\frac {6}{7}$
D. $\frac {8}{7}$

答案： D ①×2 + ②可得$(2m + 2 + n)x + (m - 2n)y = 27$，因为可以用①×2 + ②消去未知数$x$，所以$2m + 2 + n = 0$③。① + ②×5可得$(m + 1 + 5n)x + (5m - n)y = 63$，因为可以用① + ②×5消去未知数$y$，所以$5m - n = 0$④。由③④，得$\begin{cases}2m + n = -2,\\5m - n = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -\frac{2}{7},\\n = -\frac{10}{7},\end{cases}$所以$m - n = -\frac{2}{7} - (-\frac{10}{7}) = \frac{8}{7}$。

11 [2025西安高新一中月考改编]已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y= 10,\\ ax+by= 1\end{array}\right. $和$\left\{\begin{array}{l} 2x-y= 5,\\ bx+ay= 6\end{array}\right. $的解相同,则$4a^{2}+b^{2}$的平方根是____±5。

答案： ±5 因为关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 10,\\ax + by = 1\end{cases}$和$\begin{cases}2x - y = 5,\\bx + ay = 6\end{cases}$的解相同，所以$\begin{cases}x + 2y = 10,\\2x - y = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4,\\y = 3,\end{cases}$则$\begin{cases}x = 4,\\y = 3\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax + by = 1,\\bx + ay = 6\end{cases}$的解，可得$\begin{cases}4a + 3b = 1,\\4b + 3a = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -2,\\b = 3,\end{cases}$所以$4a^{2} + b^{2} = 4×(-2)^{2} + 3^{2} = 25$，所以$4a^{2} + b^{2}$的平方根是±5。

12 解下列方程组:
(1)$\left\{\begin{array}{l} 3(x-1)= 4(y-4),\\ 5(y-1)= 3(x+5);\end{array}\right. $
解：将原方程组变形，得$\begin{cases}4y - 3x = 13,①\\5y - 3x = 20,②\end{cases}$
② - ①，得$y = $7。
把$y = 7$代入①，得$4×7 - 3x = 13$，解得$x = $5。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 7\end{cases}$。
(2)$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+1}{5}= \frac {y-3}{2},\\ 3x+4y= 32。\end{array}\right. $
解：原方程组可变形为$\begin{cases}2x - 5y = -17,①\\3x + 4y = 32,②\end{cases}$
①×4 + ②×5，得$23x = 92$，解得$x = $4。
把$x = 4$代入①，得$8 - 5y = -17$，解得$y = $5。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 5\end{cases}$。

答案： 解：
(1)将原方程组变形，得$\begin{cases}4y - 3x = 13,①\\5y - 3x = 20,②\end{cases}$
② - ①，得$y = 7$。
把$y = 7$代入①，得$4×7 - 3x = 13$，解得$x = 5$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 7\end{cases}$。
(2)原方程组可变形为$\begin{cases}2x - 5y = -17,①\\3x + 4y = 32,②\end{cases}$
①×4 + ②×5，得$23x = 92$，解得$x = 4$。
把$x = 4$代入①，得$8 - 5y = -17$，解得$y = 5$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 5\end{cases}$。

1 母题[2024成都七中育才学校期中]已知二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+y= 5,\\ x+2y= 4,\end{array}\right. $则x + y的值为3。

答案： 3 $\begin{cases}2x + y = 5,①\\x + 2y = 4,②\end{cases}$ ① + ②，得$3x + 3y = 9$，所以$x + y = 3$。

已知方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x-3y= 14,\\ x-4y= 12,\end{array}\right. $则x + y的值是2。

答案： 2 $\begin{cases}2x - 3y = 14,①\\x - 4y = 12,②\end{cases}$ ① - ②，得$2x - 3y - x + 4y = 14 - 12$，所以$x + y = 2$。

3 求未知数的和变为求未知数的差[2025福州平潭一中模拟]已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x+y= -a+4,\\ x+2y= 3-a,\end{array}\right. $则x - y的值为1。

答案： 1 $\begin{cases}2x + y = -a + 4,①\\x + 2y = 3 - a,②\end{cases}$ ① - ②，得$x - y = -a + 4 - 3 + a = 1$。

对于x,y定义一种新运算“*”:x * y = ax + by,其中a,b为常数,等式右边是通常的加法和乘法运算。已知3 * 5 = 15,4 * 7 = 28,则1 * 2运算的结果为13。

答案： 13 由题意，得$\begin{cases}3a + 5b = 15,①\\4a + 7b = 28,②\end{cases}$ 1*2 = a + 2b，② - ①，得$a + 2b = 13$。

13 新趋势·过程性学习[2024平顶山期末]阅读以下内容:
已知有理数m,n满足m + n = 3,且$\left\{\begin{array}{l} 3m+2n= 7k-4,\\ 2m+3n= -2,\end{array}\right. $求k的值。
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路。
甲同学:先解关于m,n的方程组$\left\{\begin{array}{l} 3m+2n= 7k-4,\\ 2m+3n= -2,\end{array}\right. $再求k的值。
乙同学:将原方程组中的两个方程相加,再求k的值。
丙同学:先解方程组$\left\{\begin{array}{l} m+n= 3,\\ 2m+3n= -2,\end{array}\right. $再求k的值。
试选择其中一名同学的解题思路,解答此题。
解：选择甲同学的解题思路，解答如下：
$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4,①\\2m + 3n = -2,②\end{cases}$
①×3 - ②×2，得$5m = 21k - 8$，解得$m = \frac{21k - 8}{5}$。
②×3 - ①×2，得$5n = 2 - 14k$，解得$n = \frac{2 - 14k}{5}$。
因为$m + n = 3$，所以$\frac{21k - 8}{5} + \frac{2 - 14k}{5} = 3$，解得$k = 3$。
选择乙同学的解题思路，解答如下：
$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4,①\\2m + 3n = -2,②\end{cases}$
① + ②，得$5m + 5n = 7k - 6$，所以$m + n = \frac{7k - 6}{5}$，
因为$m + n = 3$，所以$\frac{7k - 6}{5} = 3$，解得$k = 3$。
选择丙同学的解题思路，解答如下：
联立，得$\begin{cases}m + n = 3,①\\2m + 3n = -2,②\end{cases}$
①×3 - ②，得$m = 11$，
把$m = 11$代入①，得$11 + n = 3$，解得$n = -8$，
把$m = 11$，$n = -8$代入$3m + 2n = 7k - 4$，
得$33 - 16 = 7k - 4$，解得$k = 3$。

答案： 解：选择甲同学的解题思路，解答如下：
$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4,①\\2m + 3n = -2,②\end{cases}$
①×3 - ②×2，得$5m = 21k - 8$，解得$m = \frac{21k - 8}{5}$。
②×3 - ①×2，得$5n = 2 - 14k$，解得$n = \frac{2 - 14k}{5}$。
因为$m + n = 3$，所以$\frac{21k - 8}{5} + \frac{2 - 14k}{5} = 3$，解得$k = 3$。
选择乙同学的解题思路，解答如下：
$\begin{cases}3m + 2n = 7k - 4,①\\2m + 3n = -2,②\end{cases}$
① + ②，得$5m + 5n = 7k - 6$，所以$m + n = \frac{7k - 6}{5}$，
因为$m + n = 3$，所以$\frac{7k - 6}{5} = 3$，解得$k = 3$。
选择丙同学的解题思路，解答如下：
联立，得$\begin{cases}m + n = 3,①\\2m + 3n = -2,②\end{cases}$
①×3 - ②，得$m = 11$，
把$m = 11$代入①，得$11 + n = 3$，解得$n = -8$，
把$m = 11$，$n = -8$代入$3m + 2n = 7k - 4$，
得$33 - 16 = 7k - 4$，解得$k = 3$。

14 运算能力[2024天津和平区期末]已知关于x,y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y= -a+1,\\ x-3y= 4a+6\end{array}\right. $(a是常数),若不论a取什么实数,代数式kx - y(k是常数)的值始终不变,则k的值为(-1)
A. -1
B. -2
C. 1
D. 2

答案： A 因为$\begin{cases}x + 2y = -a + 1,\\x - 3y = 4a + 6\end{cases}$（$a$是常数），解得$\begin{cases}x = a + 3,\\y = -a - 1,\end{cases}$则$kx - y = k(a + 3) - (-a - 1) = (k + 1)a + 3k + 1$，当$k = -1$时，不论$a$取何值，$kx - y = 3k + 1 = -2$，故$k$的值为-1。