《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

1 [2024常州田家炳中学期中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AB = 10,BC = 6,点D为斜边AB的中点,连接CD,将△BCD沿CD翻折,使点B落在点E处,点F为直角边AC上一点,连接DF,将△ADF沿DF翻折,使点A与点E重合,则AF的长为______$\frac{7}{4}$。

答案： $\frac{7}{4}$ 因为∠ACB = 90°，AB = 10，BC = 6，所以AC² = AB² - BC² = 64，所以AC = 8。由翻折可知，∠B = ∠DEC，∠A = ∠DEF，CE = BC = 6，AF = EF，因为∠A + ∠B = 90°，所以∠DEF + ∠DEC = 90°，即∠FEC = 90°，所以EF² + CE² = CF²，设AF = EF = x，则CF = AC - AF = 8 - x，所以x² + 6² = (8 - x)²，所以x = $\frac{7}{4}$。

2 如图,在△ABC中,AB = AC = 5,BC = 6,点M,N分别在边BC,AC上,将△ABC沿MN折叠,使得点C与点A重合,求折痕MN的长。

答案：
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D。
因为AB = AC = 5，BC = 6，
所以BD = CD = 3，所以AD = 4。
因为将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，
所以AM = CM，AN = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{5}{2}$，MN⊥AC。
设AM = CM = x，则MD = x - 3，
在Rt△ADM中，由勾股定理，得AD² + MD² = AM²，
即4² + (x - 3)² = x²，解得x = $\frac{25}{6}$。
在Rt△AMN中，由勾股定理，
得MN² = AM² - AN² = ($\frac{25}{6}$)² - ($\frac{5}{2}$)² = $\frac{100}{9}$，
所以MN = $\frac{10}{3}$。
　　　　　　　　　　　　　　　

3 [2025宝鸡一中调研]如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的F点处,若AB = 8 cm,BC = 10 cm,则EC的长为(3cm)
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 5 cm

答案： B 由题意可知，DC = AB = 8cm，∠B = ∠C = 90°，AF = AD = 10cm，设EF = DE = xcm，则EC = (8 - x)cm，由勾股定理，得BF² = 10² - 8²，所以BF = 6cm，所以CF = 10 - 6 = 4(cm)。在Rt△EFC中，由勾股定理，得x² = 4² + (8 - x)²，解得x = 5，所以EC = 8 - 5 = 3(cm)。

4 [2025揭阳榕城区期中]如图,在长方形ABCD中,AB = 4,BC = 3,P为边BC上一点,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,DE,PE分别交AB于点F,G,已知GE = GB,则BF的长为($\frac{12}{5}$)
A. $\frac{17}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{12}{5}$
D. 5

答案： 4 C 由折叠知∠E = ∠C = 90°，EP = CP，DE = DC，在△GEF和△GBP中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EGF = ∠BGP,\\ GE = GB,\\ ∠E = ∠B = 90^{\circ },\end{array}\right.$ 所以△GEF≌△GBP(ASA)，
所以EF = BP，GF = GP，所以BF = EP = CP，设BF = EP = CP = x，则AF = 4 - x，EF = 3 - x，所以DF = 4 - (3 - x) = 1 + x，在Rt△ADF中，由勾股定理，得(4 - x)² + 3² = (1 + x)²，解得x = $\frac{12}{5}$，所以BF = $\frac{12}{5}$。

5 [2024贵阳一模改编]如图,动点E,P分别是正方形ABCD的边BC,CD上的动点,沿AE,AP折叠正方形,点B,D的对应点恰好都落在点O处,若AB = 3,当点P是CD边的三等分点时,BE的长为$\frac{3}{2}$ 或 $\frac{3}{5}$。

答案： $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{3}{5}$ 四边形ABCD是正方形，AB = 3，点P是CD边的三等分点，则分两种情况。若DP = 1，则PC = CD - DP = 3 - 1 = 2，设BE = x，则CE = 3 - x，由折叠可知，OE = BE = x，DP = OP = 1，所以PE = OE + OP = x + 1，在Rt△PCE中，PE² = PC² + CE²，即(x + 1)² = 2² + (3 - x)²，解得x = $\frac{3}{2}$，所以BE = $\frac{3}{2}$；若DP = 2，同理可得BE = $\frac{3}{5}$。

6 [2024揭阳惠城中学月考]如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'处,点A落在点A'处。
(1)试说明B'E = BF；
(2)设AE = a,AB = b,BF = c,试猜想a,b,c之间的关系,并说明理由。

(1)由折叠的性质，得B'F = BF，∠B'FE = ∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD//BC，
所以∠B'EF = ∠BFE，
所以∠B'FE = ∠B'EF，易得B'F = B'E，
所以B'E = BF。
(2)a，b，c之间的关系是a² + b² = c²。理由如下：
由(1)知B'E = BF = c，
由折叠的性质，得∠A' = ∠A = 90°，A'E = AE = a，A'B' = AB = b。
在△A'B'E中，A'E² + A'B'² = B'E²，所以a² + b² = c²。

答案： 解：
(1)由折叠的性质，得B'F = BF，∠B'FE = ∠BFE，
在长方形纸片ABCD中，AD//BC，
所以∠B'EF = ∠BFE，
所以∠B'FE = ∠B'EF，易得B'F = B'E，
所以B'E = BF。
(2)a，b，c之间的关系是a² + b² = c²。理由如下：
由
(1)知B'E = BF = c，
由折叠的性质，得∠A' = ∠A = 90°，A'E = AE = a，A'B' = AB = b。
在△A'B'E中，A'E² + A'B'² = B'E²，所以a² + b² = c²。