《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

7 [2024西安铁一中期末]某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元,今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,今年的总收入、总支出各是多少万元？设今年的总收入为x万元,总支出为y万元,可列出方程组为(A)
A. $\left\{\begin{array}{l}x-y= 780,\\ \frac{x}{1+20\%}-\frac{y}{1-10\%}= 200\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}x-y= 780,\\ (1-20\%)x-(1+10\%)y= 200\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l}x-y= 200,\\ (1+20\%)x-(1-10\%)y= 780\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l}x-y= 780,\\ (1+20\%)x-(1-10\%)y= 200\end{array}\right.$

答案： A

8 教材随堂练习变式 甲、乙两人在400米的环形跑道上练习跑步,若同时同地反向跑,则32秒后相遇；若同时同地同向跑,甲先跑10米,则乙20秒可追上甲。则甲的速度为6米/秒,乙的速度为6.5米/秒。

答案： 6 6.5 设甲的速度为x米/秒,乙的速度为y米/秒,由题意,得$\left\{\begin{array}{l} 32x + 32y = 400,\\ 20y - 20x = 10,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x = 6,\\ y = 6.5,\end{array}\right.$即甲的速度为6米/秒,乙的速度为6.5米/秒。

9 新考法[2024平顶山期末]某市在创建全国卫生文明城市建设中,对城内的部分河道进行整治。现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成。甲工程队每天整治16米,乙工程队每天整治24米,共用时20天。求甲、乙两工程队分别整治河道多少米。
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设甲工程队整治河道x米,乙工程队整治河道y米。
根据题意,得$\left\{\begin{array}{l}x+y= 360,\\ (\underline{\quad\quad\frac{x}{16}\quad\quad})+(\underline{\quad\quad\frac{y}{24}\quad\quad})= 20。\end{array}\right.$
②小华同学：设m表示______甲工程队工作的天数______,n表示______乙工程队工作的天数______,
则可列方程组为$\left\{\begin{array}{l}m+n= 20,\\ 16m+24n= 360。\end{array}\right.$
请你补全小明、小华两位同学的解题思路。
(2)请从①②中任选一个解题思路,写出完整的解答过程。

答案： 解:
(1)$\frac{x}{16}$ $\frac{y}{24}$ 甲工程队工作的天数 乙工程队工作的天数
(2)选择①。
设甲工程队整治河道x米,乙工程队整治河道y米。
根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} x + y = 360,\\ \frac{x}{16} + \frac{y}{24} = 20,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x = 240,\\ y = 120。\end{array}\right.$
答:甲工程队整治河道240米,乙工程队整治河道120米。
选择②。
设甲工程队工作的天数是m,乙工程队工作的天数是n。
根据题意,得$\left\{\begin{array}{l} m + n = 20,\\ 16m + 24n = 360,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} m = 15,\\ n = 5。\end{array}\right.$
甲工程队整治河道的长度为$15×16 = 240$(米),
乙工程队整治河道的长度为$5×24 = 120$(米)。
答:甲工程队整治河道240米,乙工程队整治河道120米。

10 应用意识[2025六安期末]某商店分两次购进A,B型两种台灯进行销售,两次购进的数量及费用如下表所示,由于物价上涨,第二次购进A,B型两种台灯时,两种台灯每台进价分别上涨30%,20%。

(1)求第一次购进A,B型两种台灯每台进价分别是多少元。
解:设第一次购进A型台灯每台进价为x元,B型台灯每台进价为y元,由题意,得$\left\{\begin{array}{l} 10x + 20y = 3000,\\ 15(1 + 30\%)x + 10(1 + 20\%)y = 4500,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x = 200,\\ y = 50,\end{array}\right.$所以第一次购进A型台灯每台进价为200元,B型台灯每台进价为50元。
(2)A,B型两种台灯销售单价不变,第一次购进的台灯全部售出后,获得的利润为2800元,第二次购进的台灯全部售出后,获得的利润为1800元。
①求A,B型两种台灯每台售价分别是多少元。
解:设A型台灯每台售价为m元,B型台灯每台售价为n元,由题意,得$\left\{\begin{array}{l} 10(m - 200) + 20(n - 50) = 2800,\\ 15[m - 200(1 + 30\%)] + 10[n - 50(1 + 20\%)] = 1800,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} m = 340,\\ n = 120,\end{array}\right.$所以A型台灯每台售价为340元,B型台灯每台售价为120元。
②若按照第二次购进A,B型两种台灯的价格再购进一次,将再次购进的台灯全部售出后,要想使获得的利润为1000元,求有哪几种购进方案。
解:第二次购进的A型台灯每台进价为$200(1 + 30\%) = 260$(元),B型台灯每台进价为$50(1 + 20\%) = 60$(元),设购进A型台灯a台,B型台灯b台,由题意,得$(340 - 260)a + (120 - 60)b = 1000$,整理,得$4a + 3b = 50$,因为a,b为自然数,所以$\left\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b = 14\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a = 5,\\ b = 10\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a = 8,\\ b = 6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a = 11,\\ b = 2。\end{array}\right.$所以有4种购进方案:a.购进A型台灯2台,B型台灯14台;b.购进A型台灯5台,B型台灯10台;c.购进A型台灯8台,B型台灯6台;d.购进A型台灯11台,B型台灯2台。

答案： 解:
(1)设第一次购进A型台灯每台进价为x元,B型台灯每台进价为y元,由题意,得$\left\{\begin{array}{l} 10x + 20y = 3000,\\ 15(1 + 30\%)x + 10(1 + 20\%)y = 4500,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} x = 200,\\ y = 50,\end{array}\right.$所以第一次购进A型台灯每台进价为200元,B型台灯每台进价为50元。
(2)①设A型台灯每台售价为m元,B型台灯每台售价为n元,由题意,得$\left\{\begin{array}{l} 10(m - 200) + 20(n - 50) = 2800,\\ 15[m - 200(1 + 30\%)] + 10[n - 50(1 + 20\%)] = 1800,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} m = 340,\\ n = 120,\end{array}\right.$所以A型台灯每台售价为340元,B型台灯每台售价为120元。
②第二次购进的A型台灯每台进价为$200(1 + 30\%) = 260$(元),B型台灯每台进价为$50(1 + 20\%) = 60$(元),
设购进A型台灯a台,B型台灯b台,
由题意,得$(340 - 260)a + (120 - 60)b = 1000$,
整理,得$4a + 3b = 50$,
因为a,b为自然数,
所以$\left\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b = 14\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a = 5,\\ b = 10\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a = 8,\\ b = 6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} a = 11,\\ b = 2。\end{array}\right.$
所以有4种购进方案:a.购进A型台灯2台,B型台灯14台;b.购进A型台灯5台,B型台灯10台;c.购进A型台灯8台,B型台灯6台;d.购进A型台灯11台,B型台灯2台。