《2025年一遍过八年级数学上册北师大版》

在长方形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,设小长方形长、宽分别为x cm,y cm,则下列方程组正确的是(A)
A. $\left\{\begin{array}{l} x - 2y + y = 6,\\ x + 3y = 14\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l} x + 2y = 6,\\ x + 3y = 14\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l} 2x - y = 6,\\ x + 3y = 14\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l} x + 2 = 6,\\ x + 3y = 14\end{array}\right.$

答案： A

变式[2025西安经开一中模拟]如图,周长为42 m的长方形ABCD中刚好铺满6块完全相同的小长方形木块,则每块小长方形木块的面积为$18m^2。$

答案： 18 设每块小长方形木块的长为 $ x $ m，宽为 $ y $ m，根据题意，得 $\begin{cases}2x = x + 2y,\\2(2x + x + y) = 42,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 6,\\y = 3,\end{cases}$ 所以每块小长方形木块的面积为 $ 6×3 = 18(m^{2}) $。

2 教材例题变式[2025济宁十七中月考]已知某桥长850米,一列火车从桥上通过,测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟,整列火车在桥上的时间为40秒,设火车的速度为x米/秒,车长为y米,下面所列方程组正确的是(C)
A. $\left\{\begin{array}{l} 60x + y = 850,\\ 40x - y = 850\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l} x - y = 850,\\ \frac{40}{60}x + y = 850\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l} 60x - y = 850,\\ 40x + y = 850\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l} x + y = 850,\\ \frac{40}{60}x - y = 850\end{array}\right.$

答案： C 解题思路：本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程 - 车长 = 桥长，整列火车在桥上通过的路程 + 车长 = 桥长，根据这两个等量关系即可列出方程组。

3 [2024保定竞秀区月考]A,B两地相距80 km。一艘船从A出发,顺水航行4 h到B,而从B出发逆水航行5 h到A,已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差,则船在静水中的速度是18km/h。

答案： 18 设船在静水中的速度为 $ x $ km/h，水流速度为 $ y $ km/h，由题意，得 $\begin{cases}4(x + y) = 80,\\5(x - y) = 80,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 18,\\y = 2,\end{cases}$ 所以船在静水中的速度为 18 km/h。

4 [2025沈阳铁西区期末]列二元一次方程组解应用题:
小明早上骑自行车上学,中途因道路施工步行了一段路,到学校共用20分钟。他骑自行车的平均速度是200米/分,步行的平均速度是70米/分,他从家到学校的路程是3 350米。求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟。

答案： 解：设小明骑自行车的时间为 $ x $ 分钟，步行的时间为 $ y $ 分钟，
根据题意，得 $\begin{cases}x + y = 20,\\200x + 70y = 3350,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 15,\\y = 5。\end{cases}$
所以小明骑自行车的时间为 15 分钟，步行的时间为 5 分钟。

5 一题多解 教材随堂练习变式 一辆汽车从A地驶往B地,前三分之一路段为普通公路,其余路段为高速公路。已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h,在高速公路上行驶的速度为100 km/h。汽车从A地到B地共行驶了2.2 h。求A地到B地的路程。

答案： 解：通解 设 $ A $ 地到 $ B $ 地的普通公路长为 $ x $ km，高速公路长为 $ y $ km。
根据题意，得 $\begin{cases}y = 2x,\\\frac{x}{60} + \frac{y}{100} = 2.2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 60,\\y = 120,\end{cases}$
所以 $ x + y = 180 $。
所以 $ A $ 地到 $ B $ 地的路程是 180 km。
另解 设汽车在普通公路上行驶的时间为 $ a $ h，在高速公路上行驶的时间为 $ b $ h。
依题意，得 $\begin{cases}a + b = 2.2,\\60a×2 = 100b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 1,\\b = 1.2,\end{cases}$
所以 $ 60a + 100b = 60×1 + 100×1.2 = 180 $。
所以 $ A $ 地到 $ B $ 地的路程是 180 km。