《2025年全品基础小练习高考数学》

3.（15分）如图，在三棱台ABC - DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB = ∠ACD = 45°，DC = 2BC.
（1）证明：EF⊥DB；
（2）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.

答案：
$3. 解： (1)证明：如图，过点D作DO⊥AC，交AC于点O，连接OB。$
$由∠ACD = 45°，DO⊥AC，得CD=\sqrt{2}CO，$
$由平面ACFD⊥平面ABC，得DO⊥平面ABC，$
$所以DO⊥BC。$
$由∠ACB = 45°，BC=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{2}}{2}CO，得BO⊥BC。$
$又DO∩BO = O，$
$所以BC⊥平面BDO，$
$故BC⊥DB。$
$由三棱台ABC - DEF得BC//EF，$
$所以EF⊥DB。 $
$(2)如图，过点O作OH⊥BD，交BD于点H，连接CH。$
$由三棱台ABC - DEF，得DF//CO，$
$所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线CO与平面DBC所成的角。$
$由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，$
$故OH⊥平面BCD，$
$所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角。$
$设CD = 2\sqrt{2}，$
$则DO = OC = 2，BO=\sqrt{2}，得BD=\sqrt{6}，OH=\frac{2\sqrt{3}}{3}，$
$所以sin\angle OCH=\frac{OH}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}，$
$因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为\frac{\sqrt{3}}{3}。 $

4.（15分）如图，三棱锥A - BCD中，DA = DB = DC，BD⊥CD，∠ADB = ∠ADC = 60°，E为BC的中点.
（1）证明：BC⊥DA；
（2）点F满足$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}$，求平面DAB与平面FAB夹角的正弦值.

答案：
$4. 解： (1)证明：如图，连接AE，DE，$
$∵DA = DB = DC，∠ADB = ∠ADC = 60°，$
$∴△ADC≌△ADB，$
$∴AB = AC，$
$又E为BC的中点，$
$∴BC⊥AE，BC⊥DE，$
$又DE∩AE = E，$
$∴BC⊥平面ADE，$
$∵DA⊂平面ADE，$
$∴BC⊥DA。 $
$(2)设DA = DB = DC = 2，$
$由∠ADB = ∠ADC = 60°可知△ADC与△ABD均为等边三角形，$
$∴AB = AC = 2。$
$∵BD⊥CD，$
$∴BC = 2\sqrt{2}，$
$则DE=\sqrt{2}，AE=\sqrt{2}，AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}，$
$∴△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90°，$
$∴AE=\sqrt{2}。$
$∵AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}，$
$∴AE⊥DE，$
$又AE⊥BC，BC⊥DE，$
$∴ED，EB，EA两两垂直。$
$以E为原点，以ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，$
$则E(0,0,0)，D(\sqrt{2},0,0)，B(0,\sqrt{2},0)，A(0,0,\sqrt{2})，$
$设F(x,y,z)，则\overrightarrow{EF}=(x,y,z)，$
$又\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}=( - \sqrt{2},0,\sqrt{2})，$
$∴F(-\sqrt{2},0,\sqrt{2})。$
$\overrightarrow{AB}=(0,\sqrt{2}, - \sqrt{2})$
$设平面DAB的法向量为\boldsymbol{m}=(x_{1},y_{1},z_{1})，$
$则\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{DA}=-\sqrt{2}x_{1}+\sqrt{2}z_{1}=0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}y_{1}-\sqrt{2}z_{1}=0\end{cases}，$
$令z_{1}=1，可得\boldsymbol{m}=(1,1,1)。$
$\overrightarrow{BF}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2})，$
$设平面FAB的法向量为\boldsymbol{n}=(x_{2},y_{2},z_{2})，$$则\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BF}=-\sqrt{2}x_{2}-\sqrt{2}y_{2}+\sqrt{2}z_{2}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=\sqrt{2}y_{2}-\sqrt{2}z_{2}=0\end{cases}，$
$令z_{2}=1，可得\boldsymbol{n}=(0,1,1)。$
$∴\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{|\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot|\boldsymbol{n}|}=\frac{2}{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}，$
$故平面DAB与平面FAB夹角的正弦值为\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}。$