《2025年全品基础小练习高考数学》

1.（13分）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(1 + cos C) = $\sqrt{3}$c sin B.
（1）求角C的大小；
（2）若c = 2$\sqrt{10}$，b - a = 4，求AC边上的高.

答案： $解:(1)因为b(1+cosC)=\sqrt{3}csinB,$
$所以由正弦定理可得sinB(1+cosC)= \sqrt{3}sinCsinB,$
$又B∈(0,π),$
$所以sinB≠0,$
$所以1+cosC=\sqrt{3}sinC,$
$整理得2sin(c−\frac{π}{6})=1,$
$即sin(c−\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$
$因为C∈(0,π),$
$所以C一\frac{π}{6}∈(−\frac{π}{6},\frac{5π}{6}),$
$所以C−\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$,
$所以C=\frac{π}{3}$.
$(2)由余弦定理得c²=a²+b²−2abcosC,$
$又c=2\sqrt{10}$,
$所以40=a²+b²−ab=(a−b)²+ab,$
$又b−a=4,$
$所以α²+4a−24=0,$
$解得α=−2+2\sqrt{7}或α=−2−2\sqrt{7}(舍去),$
$所以AC边上的高h=asinC= (−2+2\sqrt{7})×\frac{\sqrt{3}}{2}=− \sqrt{3}+\sqrt{21}$

2.（13分）如图，在四边形ABCD中,AB⊥BC，∠ADC = 120°，AB = CD = 2AD，△ACD的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
（1）求sin∠CAB的值；
（2）证明：∠CAB = ∠CAD.

答案： $解:(1)设CD=2AD=2a,α＞0,$
$因为△ACD的面积为\frac{\sqrt{3}}{2},∠ADC=120°,$
$所以\frac{1}{2}×2a×a×sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2},可得a= 1,$
$所以AB=CD=2,AD=1.$
$在△ACD 中,由余弦定理得AC²=AD²+CD²−2AD.CDcos120°=1+4−2×2×1×(−\frac{1}{2})=7,$
$所以AC=\sqrt{7}.$
$在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=2,$
$所以BC=\sqrt{AC²−AB²}= \sqrt{7−4}=\sqrt{3},$
$所以sin∠CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$
$(2)证明:由(1)可得CD=2,AC=\sqrt{7},$
$在△ACD中,由正弦定理得\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sin∠ADC},$
$所以sin∠CAD=\frac{CDsin∠ADC}{AC}=\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7},且0＜CAD＜60°.$
$由(1)可得sin∠CAB=\frac{\sqrt{21}}{7}$,
$又0°＜∠CAB＜90°,$
$所以∠CAB=∠CAD.$

3.（13分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}=\frac{2}{\tan A}$.
（1）若A = $\frac{\pi}{3}$，求B；
（2）若a = 1，求BC边上的中线AD的长.

答案： 解:
(1)
∵$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2}{tanA}$,
∴$\frac{cosB}{sinB}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{2cosA}{sinA}$,
∴$\frac{cosBsinC+cosCsinB}{sinBsinC}$=$\frac{2cosA}{sinA}$,
∴$\frac{sinA}{sinBsinC}$=$\frac{2cosA}{sinA}$,
$即sinA=2cosAsinBsinC,由正弦定理可得a²=2bccosA.$
$∵A=\frac{π}{3}$,
$∴a²=bc,$
$又a²=b²+c²−2bccosA,即a²=b²+c²−bc=bc,$
$∴(b−c)²=0,$
$∴b=c,$
$∴B=\frac{π}{3}$.
$(2)∵a²=2bccosA,$
$∴a²=2bc×\frac{b²+c²−a²}{2bc}$
$∴b²+c²=2a²,$
$又AD=\frac{1}{2}(AB+AC),$
$∴AD²= \frac{1}{4}(b²+c²+2bc.cosA)=\frac{1}{4}(b²+c²+2bc×\frac{b²+c²−a²}{2bc})$
$=\frac{1}{4}(2b²+2c²−a²)=\frac{3}{4}a²=\frac{3}{4}$
$∴.AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$.