《2025年全品基础小练习高考数学》

1.（15分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点.
（1）求EF的长；
（2）证明：EF//平面AA₁D₁D；
（3）证明：EF⊥平面A₁CD.

答案：
$1. 解：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，$
$则A₁(2,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D₁(0,0,2)，D(0,0,0)。 $
$(1)∵E，F分别为AB，A₁C的中点，$
$∴E(1,1,0)，F(1,1,1)，$
$∴\overrightarrow{EF}=( - 1,0,1)，$
$∴|\overrightarrow{EF}|=\sqrt{1 + 0+1}=\sqrt{2}。$
$(2)证明：如图所示，连接AD₁，$
$∵\overrightarrow{AD_{1}}=( - 2,0,2)=2\overrightarrow{EF}，$
$∴EF//AD₁，$又
$AD₁⊂平面AA₁D₁D，EF⊄平面AA₁D₁D，$
$∴EF//平面AA₁D₁D。$
$(3)证明：\overrightarrow{CD}=(0, - 2,0)，$
$\overrightarrow{A_{1}D}=( - 2,0, - 2)，$
$∵\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{EF}=0\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{A_{1}D}=0$
$∴EF⊥CD，EF⊥A₁D，$
$又CD∩A₁D = D，CD⊂平面A₁CD，A₁D⊂平面A₁CD，$
$∴EF⊥平面A₁CD。$

2.（15分）已知三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点.
（1）求证：BC₁//平面CA₁D；
（2）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB₁ = √3，求三棱锥B - A₁DC的体积.

答案：
$解： (1)证明：连接AC₁，交A₁C于点E，连接DE，$
$因为四边形AA₁C₁C是矩形，$
$所以E为AC₁的中点，$
$又D是AB的中点，$
$所以DE//BC₁，$
$又DE⊂平面CA₁D，BC₁⊄平面CA₁D，$
$所以BC₁//平面CA₁D。 $
$(2)因为AC = BC，D是AB的中点，$
$所以AB⊥CD，$
$又AA₁⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，$
$所以AA₁⊥CD，$
$因为AA₁∩AB = A，AA₁，AB⊂平面AA₁B₁B，$
$所以CD⊥平面AA₁B₁B，$
$则CD是三棱锥C - A₁BD的高，$
$又S_{\triangle A_{1}BD}=\frac{1}{2}BD\times B_{1}B=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}，$
$所以V_{B - A_{1}DC}=V_{C - A_{1}BD}=\frac{1}{3}S_{\triangle A_{1}BD}\cdot CD=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\sqrt{3}=\frac{1}{2}。$