《2025年全品基础小练习高考数学》

1. 若函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}-2x - a$，当$x\geqslant\frac{1}{3}$时，$f(x)\leqslant0$恒成立，则实数$a$的取值范围是 ( )
A. $(-\infty,3]$
B. $[3,+\infty)$
C. $(-\infty,\frac{25}{3}]$
D. $[\frac{25}{3},+\infty)$

答案： D

2. 已知函数$f(x)=\frac{a}{x}-1+\ln x$，若存在$x\gt0$，使得$f(x)\leqslant0$有解，则实数$a$的取值范围是 ( )
A. $(2,+\infty)$
B. $(-\infty,-3)$
C. $(-\infty,1]$
D. $[3,+\infty)$

答案： C

3. 若对任意$x\in\mathbf{R}$，$e^{x + 2}\gt x+\log_{2}a$恒成立，则实数$a$的取值范围是 ( )
A. $(0,\frac{1}{2})$
B. $(0,\frac{1}{2}]$
C. $(0,8)$
D. $(0,8]$

答案： C

4. 设函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，若$f(x)$在其定义域内存在$x_{0}$，使得$f(x_{0})=f'(x_{0})$，则称$f(x)$为“有源函数”.已知$f(x)=\ln x - 2x - a$是“有源函数”，则$a$的取值范围是 ( )
A. $(-\infty,-1]$
B. $(-1,+\infty)$
C. $(-\infty,-\ln 2 - 1]$
D. $(-\ln 2 - 1,+\infty)$

答案： A

5. 已知函数$f(x)=xe^{-x}$，$g(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\ln x + a$，若对任意$x_{1}\in[1,2]$，都存在$x_{2}\in[1,2]$，使得$f(x_{1})=g(x_{2})$，则实数$a$的取值范围是 ( )
A. $(\frac{1}{2}-\frac{2}{e^{2}},\frac{1}{e}-\ln 2 + 2)$
B. $[\frac{1}{2}-\frac{2}{e^{2}},\frac{1}{e}-\ln 2 + 2]$
C. $(\frac{1}{e}+\ln 2 - 2,\frac{2}{e^{2}}-\frac{1}{2})$
D. $[\frac{1}{e}+\ln 2 - 2,\frac{2}{e^{2}}-\frac{1}{2}]$

答案： D

6. 下列不等式恒成立的有 ( )
A. 当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$x\gt\sin x$
B. 当$x\in(0,+\infty)$时，$x\gt\ln x$
C. $e^{x}\gt x + 1$(其中$e$为自然对数的底数)
D. 当$x\in(1,+\infty)$时，$x-\frac{1}{x}\gt2\ln x$

答案： ABD

7. 已知函数$f(x)=e^{x}-2ax$，$a\in\mathbf{R}$，则下列结论中正确的是 ( )
A. $f(x)$必有唯一极值点
B. 若$a=\frac{1}{2}$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增
C. 若$a=\frac{1}{2}$，对任意$x\in[0,+\infty)$，有$f(x)\geqslant kx$恒成立，则$k\leqslant1$
D. 若存在$x_{0}\in[2,3]$，使得$f(x_{0})\leqslant0$成立，则$a\geqslant\frac{e^{2}}{4}$

答案： BD

8. 关于$x$的不等式$x^{2}-ax + 1\lt0$在$(\frac{1}{2},1]$上恒成立，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 8.[$\frac{5}{2}$,+∞)　

9. 已知$f(x)=xe^{x}+\frac{1}{e}+e^{2}$，$g(x)=-x^{2}-2x - 1 + a$，若存在$x_{1}\in\mathbf{R}$，$x_{2}\in[-1,+\infty)$，使得$f(x_{1})\leqslant g(x_{2})$成立，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 9.[e²,+∞)　

10. 已知函数$f(x)=ae^{x}+\ln a + 1(a\gt0)$，若任意实数$t\gt1$，不等式$f(t)\gt\ln(t - 1)$恒成立，则实数$a$的取值范围为________.

答案： 10.($\frac{1}{e²}$,+∞)