《2025年全品基础小练习高考数学》

1. [教材改编] 已知$x_0$是函数$f(x)=\lg x-\frac{1}{x}$（$x＞0$）的一个零点，若$x_1\in(0,x_0)$，$x_2\in(x_0,+\infty)$，则 （ ）
A. $f(x_1)＜0$，$f(x_2)＞0$
B. $f(x_1)＞0$，$f(x_2)＜0$
C. $f(x_1)＜0$，$f(x_2)＜0$
D. $f(x_1)＞0$，$f(x_2)＞0$

答案： A

2. “$a\leq2$”是“方程$x^2 + 2x + a = 0$（$a\in\mathbf{R}$）有正实数根”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B

3. 已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_2x(x＞0)\\3^x(x\leq0)\end{cases}$，且关于$x$的方程$f(x)= -x + a$恰有两个互异的实数根，则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $(-\infty,1)$
B. $(-\infty,1]$
C. $(1,2)$
D. $(1,+\infty)$

答案： B

4. 已知函数$f(x)=\ln(x^2 - 4x - a)$，若对于任意的$m\in\mathbf{R}$，均存在$x_0$，使得$f(x_0)-m = 0$，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,-4)$
B. $(-4,+\infty)$
C. $(-\infty,-4]$
D. $[-4,+\infty)$

答案： D

5. 若关于$x$的方程$x(|x| + a)=1$有三个不同的实数解，则实数$a$的可能取值为 （ ）
A. -5
B. -2
C. 2
D. 3

答案： A

6. 已知奇函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的单调函数，若函数$y = f(2x^2 + 1)+f(\lambda - x)$只有一个零点，则实数$\lambda$的值是 （ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $-\frac{7}{8}$
D. $-\frac{3}{8}$

答案： C

7. 若函数$f(x)=\begin{cases}2^x - a,x\leq0\\-3x - a,x＞0\end{cases}$（$a\in\mathbf{R}$）在$\mathbf{R}$上没有零点，则$a$的取值范围是 （ ）
A. $(0,+\infty)$
B. $(1,+\infty)\cup\{0\}$
C. $(-\infty,0]$
D. $(-\infty,1]$

答案： B

8. 已知函数$f(x)=2^x-\log_{\frac{1}{2}}x$，且实数$a$，$b$，$c$（$a＞b＞c$）满足$f(a)f(b)f(c)＜0$，若$x_0$是函数$f(x)$的一个零点，则下列不等式中可能成立的是 （ ）
A. $x_0＜a$
B. $x_0＞a$
C. $x_0＜b$
D. $x_0＜c$

答案： 8.ABC

9. 设$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，且$f(x + 2)= -f(x)$，当$0＜x\leq1$时，$f(x)=\lg x + 1$，则 （ ）
A. $f(3)= -1$
B. $f(x)$的图象关于直线$x = -3$对称
C. $f(x)$的一个周期为4
D. $f(x)$在$[-1,4]$上有7个零点

答案： 9.ABC

10. 函数$f(x)=\begin{cases}x^2 - 2,x\leq0\\\ln x,x＞0\end{cases}$的零点个数为__________.

答案： 10.2

11. 设$a\in\mathbf{R}$，当$x＞0$时，$[(a - 1)x - 1](x^2 - ax - 1)\geq0$恒成立，则$a =$________.

答案： 11.$\frac{3}{2}$

12. [教材改编] 函数$f(x)=\frac{1}{1 - x}+\tan\frac{\pi}{2}x$在区间$(-1,3)$上的所有零点之和为________.

答案： 12.2