《2025年全品基础小练习高考数学》

9. 下列说法中错误的是( )
A. 若$|a| = 0$，则$a = 0$
B. 若$a$与$b$共线，则$a = b$或$a = -b$
C. 若$e_1$，$e_2$为单位向量，则$e_1 = e_2$
D. $\frac{a}{|a|}$是与非零向量$a$共线的单位向量

答案： BC　

10. 如图所示，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AB\perp AD$，$AB = 2AD = 2DC$，$E$为$BC$上一点，且$\overrightarrow{BC} = 3\overrightarrow{EC}$，$F$为$AE$的中点，则下列关系式中正确的是( )

A. $\overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
B. $\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
C. $\overrightarrow{BF} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
D. $\overrightarrow{CF} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

答案： ABC[

11. 已知等边三角形$ABC$中，$AB = 2$，$D$为$AC$的中点，$E$为$BD$的中点，连接$CE$并延长，交$AB$于点$F$，则( )
A. $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
B. $\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{FB}$
C. $\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AC} = \frac{3}{2}$
D. $S_{\triangle DEC} = 2S_{\triangle BEF}$

答案： AB

12. 设$a$，$b$是两个不共线向量，$\overrightarrow{AB} = 2a + \lambda b$，$\overrightarrow{BC} = a + b$，$\overrightarrow{CD} = a - 2b$. 若$A$，$C$，$D$三点共线，则实数$\lambda =$_______.

答案： −7

13. 在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$的中点，$AD = 4$，点$P$为$AD$的中点，则$|\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}| =$_______.

答案： 4　

14. 已知$O$是平面上一个定点，$A$，$B$，$C$是平面上不共线的三个点，动点$P$满足$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})(\lambda\in[0, +\infty))$，则点$P$的轨迹一定通过$\triangle ABC$的_____心.

答案： 内