《2025年全品基础小练习高考数学》

9. 椭圆$C:\frac{x^{2}}{m^{2}+1}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m\gt0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，上顶点为$A$，直线$AF_{1}$与椭圆$C$的另一个交点为$B$，若$\angle F_{1}AF_{2}=\frac{\pi}{3}$，则 ( )
A. 椭圆$C$的焦距为2
B. $\triangle ABF_{2}$的周长为8
C. 椭圆$C$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\triangle BF_{1}F_{2}$的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{5}$

答案： 9.ABD

10. 抛物线$C:y^{2}=4x$的准线为$l$，$P$为$C$上的动点，过$P$作$\odot A:x^{2}+(y - 4)^{2}=1$的一条切线，$Q$为切点，过点$P$作$l$的垂线，垂足为$B$，则 ( )
A. $l$与$\odot A$相切
B. 当$P$，$A$，$B$三点共线时，$|PQ|=\sqrt{15}$
C. 当$|PB| = 2$时，$PA\perp AB$
D. 满足$|PA| = |PB|$的点$P$有且仅有2个

答案： 10.ABD

11. 已知$F_{1}$，$F_{2}$分别为双曲线$C:\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$的左、右焦点，过$F_{2}$的直线交双曲线$C$的右支于$P$，$Q$两点，则下列说法正确的是 ( )
A. 直线$PF_{1}$与直线$PF_{2}$的斜率之积为$\frac{3}{2}$
B. $|PQ|$的最小值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
C. 若$|PQ| = 2\sqrt{3}$，则$\triangle PF_{1}Q$的周长为$8\sqrt{3}$
D. 点$P$到两条渐近线的距离之积为$\frac{6}{5}$

答案： 11.BCD

12. 过点$P(-2,-1)$且与抛物线$y^{2}=4x$有唯一公共点的直线的方程为____________________.

答案： 12.y=−1或y=x+1或y=−$\frac{1}{2}$x−2

13. 已知直线$l$与椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$交于$A$，$B$两点，弦$AB$的中点为$M(2,1)$，则直线$l$的方程为________.

答案： 13.7x+8y−22=0

14. 抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线$y^{2}=4x$的焦点为$F$，一条平行于$x$轴的光线从点$M(2,1)$射入，经过抛物线上的点$A$反射后，再经过抛物线上的另一点$B$反射后，平行于入射光线射出，则$|AB| = $________.

答案： 14.$\frac{25}{4}$