《2025年全品基础小练习高考数学》

9. 下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是( )
A. $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$
B. $f(x)=|x|(x + 2)$
C. $f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$
D. $f(x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)$

答案： AC 

10. 已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，则下列说法正确的是( )
A. $f(0)=0$
B. $f(-1)=-1$
C. $f(x)$为偶函数
D. 若$f(2)=\frac{1}{2}$，则$f(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{32}$

答案： ACD 

11. 若实数$x$，$y$满足$x^{2}+y^{2}-xy = 1$，则( )
A. $x + y\lt 1$
B. $x + y\geqslant - 2$
C. $x^{2}+y^{2}\geqslant 1$
D. $x^{2}+y^{2}\leqslant 2$

答案： BD 

12. 已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_{2}(1 - x),x\lt 0,\\4^{x},x\geqslant 0,\end{cases}$则$f(-7)+f(\log_{4}3)=$_______.

答案： 6 

13. 已知函数$f(x)$的定义域是$[-2,1]$，则函数$g(x)=\frac{f(x + 1)}{x + 2}$的定义域是_______.

答案： $[-3,-2)\cup(-2,0]$ 

14. 已知函数$f(x + 1)$是奇函数，$f(x + 2)$是偶函数，当$x\in[2,3]$时，$f(x)=3 - x$，则$f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2023)+f(2024)=$_______.

答案： $-1$ [解析]函数$f(x + 1)$是奇函数，则$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，即$f(2 - x)=- f(x)$。函数$f(x + 2)$是偶函数，则$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，即$f(4 - x)=f(x)$，所以$f(4 - x)=- f(2 - x)$，从而$f(2 + x)=- f(x)$，所以$f(x + 4)=- f(x + 2)=f(x)$，所以$f(x)$是以$4$为周期的周期函数。由题知$f(2)=1$，$f(3)=0$，则$f(1)=f(3)=0$，$f(0)=- f(2)=- 1$，所以$f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0$，所以$f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2023)+f(2024)=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+\cdots +[f(2020)+f(2021)+f(2022)+f(2023)]+f(2024)=f(0)=- 1$.

四、解答题(本题共1小题，共17分)
15. 已知函数$f(x)=\log_{2}(2^{x}+1)+ax$是偶函数.
(1)求$a$的值；
(2)设$g(x)=f(x)+x$，$h(x)=x^{2}-2x + m$，若对任意的$x_{1}\in[0,4]$，存在$x_{2}\in[0,5]$，使得$g(x_{1})\geqslant h(x_{2})$，求$m$的取值范围.

答案： 解:
(1)因为$f(x)=\log_{2}(2^{x}+1)+ax$是偶函数，所以$f(-x)-f(x)=0$，即$\log_{2}(2^{-x}+1)-ax-\log_{2}(2^{x}+1)-ax = 0$，即$2ax=\log_{2}(2^{-x}+1)-\log_{2}(2^{x}+1)=\log_{2}\frac{2^{-x}+1}{2^{x}+1}=-x$，所以$a = -\frac{1}{2}$。
(2)因为对任意的$x_{1}\in[0,4]$，存在$x_{2}\in[0,5]$，使得$g(x_{1})\geqslant h(x_{2})$，所以$g(x)$在$[0,4]$上的最小值大于等于$h(x)$在$[0,5]$上的最小值。
因为$g(x)=\log_{2}(2^{x}+1)+\frac{1}{2}x$在$[0,4]$上单调递增，所以$g(x)$在$[0,4]$上的最小值为$g(0)=1$。
因为$h(x)=x^{2}-2x + m$在$[0,1)$上单调递减，在$(1,5]$上单调递增，所以$h(x)$在$[0,5]$上的最小值为$h(1)=m - 1$。
所以$1\geqslant m - 1$，解得$m\leqslant 2$，即$m$的取值范围是$(-\infty,2]$。