《2025年全品基础小练习高考数学》

1.（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A = $\frac{\pi}{3}$，c = $\frac{3}{7}a$.
（1）求sin C的值；
（2）若a = 7，求△ABC的面积；
（3）求sin(2A + B)的值.

答案： 解:
(1)因为c=$\frac{3}{7}$a,所以由正弦定理可得sinC=$\frac{3}{7}$sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$.
(2)若a=7,则c=$\frac{3}{7}$a=3,由余弦定理得a²=b²+c²−2bccosA,即7²=b²+3²−2b×3×$\frac{1}{2}$,整理得b²−3b−40=0,解得b=8或b=−5(舍去),所以S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×8×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$.
(3)因为A+B+C=π,所以A+B=π−C,则sin(2A+B)=sin(A+π−C)=−sin(A−C).因为c=$\frac{3}{7}$a,即c＜a,所以C＜A=$\frac{\pi}{3}$,可得cosC=$\sqrt{1−sin²C}$=$\frac{13}{14}$,所以sin(2A+B)=−sin(A−C)=−sinAcosC+cosAsinC=−$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{13}{14}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=−$\frac{5\sqrt{3}}{14}$

2.（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，5cos C(a cos B + b cos A) = c.
（1）求cos C的值；
（2）若c = 3，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求△ABC的周长.

答案： 解:
(1)因为5cosC(acosB+bcosA)=c,
所以由正弦定理可得5cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
又sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin(π−C)=sinC,
所以5sinCcosC=sinC,由C∈(0,π),可知sinC≠0,
所以cosC=$\frac{1}{5}$
(2)由
(1)可知C∈(0,π),cosC=$\frac{1}{5}$,则sinC=$\sqrt{1−cos²C}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$,
因为S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
所以2ab=5,
由余弦定理可得c²=a²+b²−2abcosC=(a+b)²−2ab−2abcosC=(a+b)²−6=9,
所以a+b=$\sqrt{15}$,
所以△ABC的周长为a+b+c=$\sqrt{15}$+3.

3.（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{c}{a + b + c}$ = $\frac{\sin A + \sin C - \sin B}{\sin A}$.
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，△ABC外接圆的面积为$\frac{7\pi}{3}$，求a，c.

答案： 解:
(1)因为$\frac{c}{a+b+c}$=$\frac{\sin A+\sin C−\sin B}{\sin A}$,
所以由正弦定理可得$\frac{c}{a+b+c}$=$\frac{a+c−b}{a}$,
所以a²+c²−b²=−ac,
所以由余弦定理可得cosB=$\frac{a²+c²−b²}{2ac}$=−$\frac{1}{2}$,
又0＜B＜π,
所以∠B=$\frac{2\pi}{3}$.
(2)设△ABC外接圆的半径为R,
因为△ABC外接圆的面积为$\frac{7\pi}{3}$,
所以πR²=$\frac{7\pi}{3}$,可得R=$\frac{\sqrt{21}}{3}$,
由正弦定理可得b=2RsinB=2×$\frac{\sqrt{21}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{7}$.
因为△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
所以$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,可得ac=2①,
由余弦定理可得cosB=$\frac{a²+c²−b²}{2ac}$=$\frac{a²+c²−7}{4}$=−$\frac{1}{2}$②,
由①②可得$\begin{cases}a = 1\\c = 2\end{cases}$或$\begin{cases}a = 2\\c = 1\end{cases}$