《2025年全品基础小练习高考数学》

11. 已知函数$f(x)=a\ln(x + 1)-x\sin x$.
（1）若$a = 0$，求曲线$y = f(x)$在点$(\frac{\pi}{2},f(\frac{\pi}{2}))$处的切线方程；
（2）若$a = 1$，研究函数$f(x)$在$(-1,0]$上的单调性和零点个数.

答案： 解:
(1)当α=0时,f(x)=−xsinx,
则f'(x)=−sinx−xcosx,
则f($\frac{π}{2}$)−−$\frac{π}{2}$,f'($\frac{π}{2}$)=−1,
所以曲线y=f(x)在点($\frac{π}{2}$,f($\frac{π}{2}$))处的切线方程为y=-x.
(2)当α=1时,f(x)=1n(x+1)−xsinx,
则f'(x)=$\frac{1}{x+1}$−sinx−xcosx,
当x∈(−1,0]时,$\frac{1}{x+1}$＞0,−sinx≥0,−xcosx≥0,
则f'(x)＞0,
故f(x)在(−1,0]上单调递增,
又因为f
(0)=0,
所以f(x)在(−1,0]上的零点个数为1.

12. 已知函数$f(x)=\ln x-\frac{1}{2}ax^{2}(a\in\mathbf{R})$.
（1）当$a = 1$时，求$f(x)$的最大值；
（2）讨论函数$f(x)$在区间$[1,\text{e}^{2}]$上零点的个数.

答案： 解:
(1)f(x)的定义城是(0,+∞),
因为f(x)=lnx−$\frac{1}{2}$ax²,
所以f'(x)=$\frac{1}{x}$−ax=$\frac{1−ax²}{x}$.
当a=1时,f'(x)=$\frac{1−x²}{x}$,
令f'(x)=0,得x=±1,
因为x＞0,
所以当x∈(0,1)时,f'(x)＞0,函数f(x)单调递增
,当x∈(1,+∞)时,f'(x)＜0,函数∮(x)单调递减,
所以当r=1时,函数f(x)取得最大值,最大值为f
(1)=-$\frac{1}{2}$.
(2)由f(x)=0,得a=$\frac{2lnx}{x²}$,
令g(x)=$\frac{2lnx}{x²}$,x∈[1,e²],
则g’(x)=$\frac{2−4lnx}{x²}$,
$由g'(x)＞0,得1＜x＜\sqrt{e},$
$由g'(x)＜0,得\sqrt{e}＜x＜e²,$
所以g(x)在区间[1，e]上单调递增,在区间[$\sqrt{e}$,e²]上单调递减，
又g
(1)=0',g($\sqrt{e}$)=$\frac{1}{e}$,g(e²)=$\frac{4}{e^4}$,
所以函数g(x)在区间[1,e²]上的图象如图,
由图知,当0≤a＜$\frac{4}{e^4}$或a=$\frac{1}{e}$时，f(x)在[1,e²]上有一个零点,
当$\frac{4}{e^4}$＜a＜$\frac{1}{e}$时,f(x)在[1,e²]上有两个零点,
当α＜0或a＞$\frac{1}{e}$时,f(x)在[1,e²]上没有零点.