《2025年全品基础小练习高考数学》

1. 数列$\{ a_{n}\}:1\frac{1}{2},3\frac{1}{4},5\frac{1}{8},7\frac{1}{16},\cdots,(2n - 1)+\frac{1}{2^{n}},\cdots$的前$n$项和$S_{n}=$ （ ）
A. $n^{2}+1-\frac{1}{2^{n}}$
B. $2n^{2}-n + 1-\frac{1}{2^{n}}$
C. $n^{2}+1-\frac{1}{2^{n - 1}}$
D. $n^{2}-n + 1-\frac{1}{2^{n}}$

答案： A

2. [教材改编题] 数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}$，若$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}=10$，则$n$的值为 （ ）
A. 143
B. 120
C. 224
D. 225

答案： B

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=a_{n}-a_{n - 1}(n\geqslant2)$，$a_{1}=1,a_{2}=3,S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots + a_{n}$，则下列结论正确的是 （ ）
A. $a_{2025}=3,S_{2025}=6$
B. $a_{2025}=2,S_{2025}=4$
C. $a_{2025}=2,S_{2025}=6$
D. $a_{2025}=3,S_{2025}=4$

答案： C

4. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=-60,a_{n + 1}=a_{n}+3$，则$\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+\cdots+\vert a_{30}\vert=$ （ ）
A. -445
B. 765
C. 1080
D. 3105

答案： B

5. 莱布尼茨三角是与杨辉三角数阵相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和.记第2行的第2个数字为$a_{1}$，第3行的第2个数字为$a_{2}$，$\cdots$，第$n(n\geqslant2)$行的第2个数字为$a_{n - 1}$，则$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots + a_{10}=$ （ ）

A. $\frac{1}{90}$
B. $\frac{1}{10}$
C. $\frac{9}{10}$
D. $\frac{10}{11}$

答案： D

6. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=-1,n(a_{n + 1}-a_{n})=\frac{2}{n + 1}$，记$\langle a_{n}\rangle$为不小于$a_{n}$的最小整数，$b_{n}=\langle a_{n}\rangle$，则数列$\{ b_{n}\}$的前2025项和为 （ ）
A. 2022
B. 2023
C. 2024
D. 2025

答案： 6.A　

7. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{3a_{n}+1}$，则数列$\{\frac{2^{n}}{a_{n}}\}$的前10项和为 （ ）
A. $25\times2^{10}+12$
B. $25\times2^{1}$
C. $25\times2^{11}+12$
D. $25\times2^{11}+10$

答案： 7.D　

8. 设数列$\{\frac{n^{2}}{(2n - 1)(2n + 1)}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则 （ ）
A. $25\lt S_{100}\lt25.5$
B. $25.5\lt S_{100}\lt26$
C. $26\lt S_{100}\lt27$
D. $27\lt S_{100}\lt27.5$

答案： 8.A

9. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1,a_{n + 1}=2a_{n}+2^{n}$，$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots + a_{n}$，则 （ ）
A. $a_{n}=n\cdot2^{n - 1}$
B. $a_{n}=n\cdot2^{n}$
C. $S_{n}=n\cdot2^{n}-1$
D. $S_{n}=(n - 1)\cdot2^{n}+1$

答案： 9.AD.

10. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{8}=31,S_{10}=210$，则下列说法正确的是 （ ）
A. $S_{19}=19a_{9}$
B. 数列$\{ 2^{a_{n}}\}$是公比为$2^{8}$的等比数列
C. 若$b_{n}=(-1)^{n}\cdot a_{n}$，则数列$\{ b_{n}\}$的前2024项和为4048
D. 若$c_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}$，则数列$\{ c_{n}\}$的前2024项和为$\frac{2024}{24297}$

答案： 10.BCD