《2025年全品基础小练习高考数学》

1. 设$m\in\mathbf{R}$，向量$\boldsymbol{a}=(m,1)$，$\boldsymbol{b}=(4,m)$，$\boldsymbol{c}=(1,2)$，则“$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$”是“$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}$”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B

2. [教材改编] 在$\triangle ABC$中，$(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BC}|^{2}$，则$\triangle ABC$的形状一定是 （ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形

答案： A

3. 已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{3}$，$|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 1$，若$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}| =$ （ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2}$

答案： A

4. 已知向量$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{AC}=(4,-2)$，则$\triangle ABC$的面积为 （ ）
A. 5
B. 10
C. 25
D. 50

答案： A

5. 已知$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是夹角为$60^{\circ}$的两个单位向量，则$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$与$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2}$的夹角是 （ ）
A. $60^{\circ}$
B. $120^{\circ}$
C. $30^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

答案： B　

6. 如图，在直角三角形$ABC$中，$CA = CB = 1$，以斜边$AB$的中点$O$为圆心，$AB$为直径作半圆弧$AB$，$M$为半圆弧上的动点，则$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CM}$的取值范围为 （ ）

A. $\left[0,\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\right]$
B. $[0,1]$
C. $\left[0,\frac{3}{2}\right]$
D. $\left[\frac{1 - \sqrt{2}}{2},1\right]$

答案： 6.A

7. 如图，在扇形$COD$及扇形$AOB$中，$\angle COD=\frac{2\pi}{3}$，$OC = 3OA = 3$，动点$P$在$\overset{\frown}{CD}$上（包含端点），则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$的最小值是 （ ）

A. $\frac{11}{2}$
B. 6
C. $\frac{13}{2}$
D. 7

答案： 7.A　

8. 已知$\triangle OAB$是边长为1的正三角形，若点$P$满足$\overrightarrow{OP}=(2 - t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}(t\in\mathbf{R})$，则$|2\overrightarrow{AP}|$的最小值为 （ ）
A. $\sqrt{3}$
B. 1
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

答案： 8.A